250601同济大学2020年数学分析考研试题部分参考解答
1、 (15 分) 设函数 在 上连续且 , 计算
2、 (15 分) 用任一实数理论完备性定理证明闭区间上连续函数的有界性定理.
3、 (15 分) 已知 在 上一致连续, 且对每一个固定的 成立
证明: 当 时, 函数列 在 上一致收敛于 .
4、 (15 分) 确定实数 的取值范围, 使平面无界区域
绕 轴旋转一周所得旋转体的体积有限而其表面积无限, 并计算该旋转体的体积.
5、 (15 分) 曲面
围成的有界区域为 , 其中 . 记 在点 处的切平面为 , 计算
其中 是 到平面 的距离的平方.
6、 (20 分) 设函数 在 上二阶可导, 且 , 并满足 . 试证明:
(1)、 对任意正数 , 存在唯一 使得 , 其中 是 在 上的最大值;
(2)、 收敛且 .
7、 (20 分) 设
求幂级数 的收敛域以及和函数.
8、 (20 分) 说明方程
可确定唯一的具有连续偏导数、并且定义在全平面上的隐函数 , 求 的极值.
9、 (20 分) 指出函数
的定义域并用初等函数表示 .