250804首都师范大学2012年高等代数考研试题参考解答 一. ( ) 求方程组
的通解.
二. ( ) 设 为 矩阵, 是 维列向量. 证明: 有解当且仅当方程组 的解都是方程 的解.
三. ( ) 证明行列式
四. ( ) 设 为有理系数非零多项式, 其中 是不可约的 (即不能分解为两个较低次数有理系数多项式的积). 假设存在复数 使得 , 证明: .
五. ( ) 设 为 维实线性空间, 为 维线性子空间, 记 为 到自身的所有线性映射组成的线性空间. 令
说明 是 的线性子空间, 并给出 的维数.
六. ( ) 一个复方阵 称为幂零的, 如果存在正整数 , 使得 . 设 为 阶复方阵, 证明 为幂零阵当且仅当 的特征多项式 .
七. ( ) 设 为 阶半正定实对称矩阵, 问 是否必为半正定的? (若肯定说明理由, 若否定给出反例.)
八. ( ) 在三维实向量空间中, 定义 与 的内积如下:
这样定义了一个欧氏空间. 求这个欧氏空间中的包含 在内的一个组标准正交基 .
九. ( $displaystyle 15'$ ) 设 $displaystyle V$ 为有理数域上线性空间, $displaystyle scrA$ 为 $displaystyle V$ 的一个非零线性变换, 且 $displaystyle scrA^4=4scrA^2-2scrA$ . 证明: $displaystyle V=im scrAoplus ker scrA$ , 且 $displaystyle scrA$ 有一个三维不变子空间.
十. ( ) 设 为 阶实对称方阵, 同时也是正交阵. 证明存在整数 ) 使得 ; 此外, 若 则 , 而若 则 . 这里, 是单位阵.