251116华东师范大学2020年高等代数考研试题参考解答
1、 (15 分) 设
求所有 的值, 使得 是幂零矩阵. (矩阵 是幂零矩阵是指存在正整数 , 使得 .)
2、 (15 分) 设 是线性空间 中的 个向量. 已知对任意的 以及 , 线性相关当且仅当 线性相关. 求证: 向量组 的秩与向量组 的秩相同.
3、 (15 分) 已知 , 求矩阵
的行列式.
4、 (25 分) 设
(1)、 求一个正交矩阵 , 使得 是对角矩阵.
(2)、 求
在单位球面
上能取到的最大值, 并求出能取到该最大值的所有 .
5、 (15 分) 已知矩阵 满足
求证: 可对角化.
6、 (20 分) 设 . 令
(1)、 验证 是 的线性子空间.
(2)、 设 . 求 . (用 表示.)
7、 (15 分) 设 是二阶复方阵, 且 在 中线性无关. 求证: 存在复数 使得 是可逆矩阵.
8、 (20 分)
(1)、 设 . 求证: 若存在可逆矩阵 , 使得 , 则 .
(2)、 设可逆矩阵 满足 . 求证: 存在可逆矩阵
使得 . ( 为 的共轭矩阵, 是指单位矩阵.)
9、 (10 分) 设 为 奇数, 且 . 求证: 不可逆.