1. 方程 考虑 $bR^3$ 中有界区域 $Omega$ 上如下的稳态流动: $$eelabel{eq} left{a{ll} Div(varrhobu)=0,\ Div(varrhobuotimes bu) -mulap bu -(lambda+mu) Divbu + varrho^gamma =varrhobf+bg. ea ight. eee$$
2. 假设 先作一些初步的假设:
2.1. $dps{gamma>frac{3}{2}}$---保证对流项 $Div(varrhobuotimesbu)$ 可看成 $eqref{eq}_2$ 的扰动;
2.2. $mu>0$, $dps{lambda+frac{2}{3}mugeq 0}$---Navier-Stokes 假设;
2.3. 考虑非滑动边界---$u=0$ 在 $p Omega$ 上. 这时可将 Navier-Stokes 假设放宽为 $$ex mu>0,quad lambda+frac{4}{3}mu>0; eex$$
2.4. 当 $dps{gammaleq frac{5}{3}}$ 时, $bf$ 适合 $curl bf=0$--- 此时密度的可积性实在太差, 须将用 $ve$-Young 不等式打出来的指标下降, 为此须巧妙的通过 $eqref{eq}_1$ 把一端零消失: $$ex & &curl bf=0\ & a& bf= varphi\ & a& int varrhobfcdotbu =int varrho bucdot varphi =-int Div(varrhobu)varphi =0; eex$$
2.5. $dps{int varrho =M>0}$---质量守恒.
3. 弱解的三重逼近 那么怎么证明 eqref{eq} 有弱解呢?
3.1. 注意到 $eqref{eq}_1$ 是退化双曲的, 自然的引进 damping 项 $alphavarrho(alpha>0)$: $$ex alphavarrho+Div(varrho bu)=cdots. eex$$ 为保证质量守恒, 右端须加上 $alpha h$: $$ex alpha varrho+Div(varrhobu)=alpha h, eex$$ 其中 $h$ 满足: $$ex int h=M. eex$$ 再看 $eqref{eq}_2$, 注意到 $$ex int Div(varrho buotimes bu)cdotbu &=&int Div(varrhobu)sev{bu}^2 +int varrho bucdot frac{sev{bu}^2}{2}\ &=&frac{1}{2}intDivsex{varrhobu}sev{bu}^2\ &=&frac{alpha}{2}int (h-varrho)sev{bu}^2, eex$$ 为保证能量不等式还能有效利用, 我们在 $eqref{eq}_2$ 中加上 $$ex frac{alpha}{2}hbu+frac{3}{2}varrhobu eex$$ (这样就出现了 $alphasex{h+varrho}sev{bu}^2$): $$ex frac{alpha}{2}hbu+frac{3}{2}varrhobu +Div(varrhobuotimesbu) -mulapbu -(lambda+mu) Divbu + varrho^gamma =varrhobf+bg. eex$$ 综上所述, 第一次逼近为 $$ee label{eq1} left{a{ll} alphavarrho+Div(varrhobu)=alpha h,\ frac{alpha}{2}hbu+frac{3}{2}varrhobu +Div(varrhobuotimesbu) -mulapbu -(lambda+mu) Divbu + varrho^gamma =varrhobf+bg. ea ight. eee$$
3.2. 注意到 $eqref{eq1}_2$ 是椭圆方程组, 而椭圆组具有很好的存在正则性理论. 为啥不将 $eqref{eq1}_1$ 也椭圆正则化呢? 于是我们将 $eqref{eq1}_1$ 转化为 $$ex alpha varrho +Div(varrhobu) -velapvarrho =alpha hquad(ve>0). eex$$ 此时, $eqref{eq1}_2$ 也应相应的变动(以适合能量不等式), 怎么办呢? 注意到 $$ex int Div(varrhobuotimes bu)cdotbu &=&frac{1}{2}int Div(varrhobu)sev{bu}^2 quad sex{=-int sex{varrhobucdot bu}cdotbu}\ &=&frac{1}{2}int sez{alpha(h-varrho+velap varrho}sev{bu}^2\ &=&frac{alpha}{2}int (h-varrho)sev{bu}^2 -ve int p_ivarrhop_iu_ju_j, eex$$ 最后那个式子 $$ex ve int p_ivarrhop_iu_ju_j eex$$ 最好不要出现在能量不等式中(那样就更简单了). 怎么办呢? 观察上式, 有 $$ex int sez{Div(varrhobuotimesbu+varrhobucdot bu}cdotbu=0. eex$$ 故为啥不把 $eqref{eq1}_2$ 中的 $Div(varrhobuotimesbu)$ 换成 $$ex frac{1}{2}Div(varrhobuotimesbu+ frac{1}{2}varrhobucdot bu eex$$ 呢? 此时, 在第一次逼近中的导入的 $$ex frac{alpha}{2}hbu +frac{3}{2}varrhobu eex$$ 就可直接点了: $$ex alphavarrhobu+alpha hbu. eex$$ 这样, 我们获得了第二次逼近: $$eelabel{eq2} left{a{lll} alphavarrho+Div(varrhobu) -velap varrho =alpha h,\ alpha hbu +alpha varrhobu +frac{1}{2}Divsex{varrhobuotimesbu} +frac{1}{2}varrhobucdot bu\ quadquadquad quadquadquad -mulap bu -(lambda+mu) Divbu + varrho^gamma =varrhobf+bg. ea ight. eee$$
3.3. 对于 eqref{eq2}, 我们大概可以用 Leray-Schauder 不动点定理证明弱解的存在性. 回忆 Leray-Schauder 不动点定理. 设 $X$ 是一 $Banach$ 空间, $Dsubset X$ 为其一有界开集. 再设 $H:ar D imes[0,1] o X$ 是一紧算子的同伦, 满足 (1) $exists u_0in D, s.t. H(u_0,0)=u_0$; (2) $0 eq (I-H(cdot,t))(p D), tin [0,1]$. 则 $$ex forall tin [0,1], exists u_tin D, s.t. H(u_t,t)=u_t. eex$$ 注记. 在 PDE 中, 为应用 Leray-Schauder 不动点定理, 仅须作先验估计及利用 Sobolev 紧嵌入. 故而通过求解过程 $$ex bustackrel{mbox{质量守恒}}{mapsto} varrho=S(bu) stackrel{mbox{动量守恒}}{mapsto} bu, eex$$ 我们先用 Leray-Schauder 不动点定理证明 $$ex -velapvarrho =alpha(h-varrho)-Div(varrhobu) eex$$ 有解 $varrho=S(bu)$, 然后再次用之得到 $$ex & &-mulap bu -(lambda+mu) Divbu\ & &=-sez{ alpha hbu +alpha S(bu)bu +frac{1}{2}Divsex{S(bu)buotimesbu} +frac{1}{2}S(bu)bucdot buatop + S(bu)^gamma -S(bu)bf-bg} eex$$ 的解 $bu$. 如此, $(S(bu),bu)$ 就是 eqref{eq} 的弱解了. 剩下就是构造合适的工作空间. 注意到质量守恒本身就是带输运的, 自然 $$ex buin W^{1,infty}. eex$$ 那么 $varrhoin ?$ 引入 Bogovskii 算子 $calB$, 我们有 $$ex -velap varrho =Divsez{alphacalB(h-varrho)-varrhobu}. eex$$ 于是 $$ex sen{ varrho}_s &leq& frac{C}{ve}sen{alpha calB(h-varrho)-varrhobu}_s\ &leq& frac{C}{ve}sez{alpha sen{h}_s+sen{varrho}_s}\ &leq& frac{C}{ve}sen{h}_squad sex{sen{varrho}_sleq Csen{h}_s, s o 1^+,atopmbox{直观上可以看作是质量守恒的正则化扰动}}. eex$$ 如此, 通过 Sobolev 嵌入及 Bootstrap, $$ex sen{varrho}_{1,p}leq C(bu)sen{h}_p. eex$$ 从而再由正则性理论, $$ex sen{varrho}_{2,p}leq C(bu)sen{h}_pquadsex{forall 1<p<infty}. eex$$ 为了有紧, 同样可设 $$ex varrhoin W^{1,infty}. eex$$ 工作空间选好了, 那些先验估计就是 technical 的了. 这样, 我们就可以取极限 (比如 $ve o 0^+$, $alpha o 0^+$). 但现在问题来了, 压力项的极限怎么办? (其他项由 div-curl 引理而容易处理)? 为此, 引入人工压力项 $delta(varrho^2+varrho^eta)$($eta$ 充分大, $2$ 是技术处理, 以获得密度的更高可积性, 而有更好的强收敛, 有重整化解, 对 $gamma>3/2$ 能够统一处理), 而得到第三次逼近 $$eelabel{eq3} left{a{lll} alphavarrho+Div(varrhobu) -velap varrho =alpha h,\ alpha hbu +alpha varrhobu +frac{1}{2}Divsex{varrhobuotimesbu} +frac{1}{2}varrhobucdot bu\ quadquadquad quadquadquad -mulap bu -(lambda+mu) Divbu + sex{varrho^gamma+delta(varrho^2+varrho^eta)} =varrhobf+bg. ea ight. eee$$
4. 极限过程. 为保证密度的强收敛性, 我们选取如下的极限过程: $$ex ve o 0^+ a alpha o 0^+ a delta o 0^+. eex$$
4.1. 消失椭圆正则化. 不写那么多了, 关键是 $$ex varrhoin L^2& a& varrhombox{ 重整化解}\ & a& {overline{varrho^ heta}}^frac{1}{ heta}mbox{ 适合方程} (mbox{利用有效粘性通量}, 0< heta<1)\ & a& varrho_alphambox{ 的 }L^1mbox{ 强收敛性}. eex$$
4.2. 消失 damping. 基本上同上.
4.3. 消失人工压力. 直观上通过 Riesz 变化得到 $$ex varrhoin L^{s(gamma)}, s(gamma)=left{a{ll} 3(gamma-1),&frac{3}{2}<gammaleq 3,\ 2gamma,&gammageq 3. ea ight. eex$$ 故而当 $gammageq5/3$ 时, $varrhoin L^2$, 而同上讨论. 当 $3/2<gamma<5/3$ 时, 我们去 cut-off: $$ex sen{varrho_delta-varrho}_1 &leq&sen{varrho_delta-T_k(varrho_delta)}_1 +sen{T_k(varrho_delta)-T_k(varrho)}_1 +sen{T_k(varrho)-varrho}_1\ &equiv&I_1+I_2+I_3, eex$$ 其中 $$ex T_k(t)=left{a{ll} t,&tleq k,\ k,&tgeq k. ea ight. eex$$ $I_1$, $I_3$ 可类似估计: $$ex I_3&=&sen{(varrho-k)1_{varrhogeq k}}_1\ &leq& sen{varrho}_{s(gamma)} sev{sed{varrhogeq k}}^{1-frac{1}{s(gamma)}}\ &leq&Csex{frac{M}{k}}^{1-frac{1}{s(gamma)}}\ & o&0quadsex{k o+infty}. eex$$ 仅须考虑 $$ex I_2=sen{T_k(varrho_delta)-T_k(varrho)}_1, eex$$ 这是(有限)密度震荡, 直观上应有很好的正则性. 联系方程 $eqref{eq}_2$, 我们导入 $$ex lim_{delta o 0^+} sen{T_k(varrho_delta)-T_k(varrho)}_{gamma+1}leq C eex$$ (参见张祖锦, 密度的震荡控制, 家里蹲大学数学杂志. 第 2 卷第 31 期, (2011), 195--195.), 而也通过 cut-off 有 $varrho$ 适合重整化. 最后由 $$ex & &lim_{delta o 0^+} sen{T_k(varrho_delta)-T_k(varrho)}_{gamma+1}\ & &leq (lambda+2mu) int overline{Divbu T_k(varrho)}-Divbuoverline{T_k(varrho)}\ & &=(lambda+2mu) int -Div L_k(varrho)-Divbuoverline{T_k(varrho)}\ & &quadsex{L_k(t)= left{a{ll} tln t,&tin [0,k),\ tln k+t-k,&tin [k,infty) ea ight.mbox{ 满足 }tL_k'(t)-L_k(t)=T_k(t)}\ & &=(lambda+2mu) int Divsex{T_k(varrho)-overline{T_k(varrho)}}\ & &quadsex{Divsex{L_k(varrho)bu}+T_k(varrho)Divbu=0}\ & &leq (lambda+2mu) sen{Divbu}_2 sen{T_k(varrho)-overline{T_k(varrho)}}_1^frac{gamma-1}{2gamma} sen{T_k(varrho)-overline{T_k(varrho)}}_{gamma+1}^ frac{gamma+1}{2gamma}\ & &leq Csex{sen{T_k(varrho)-varrho}_1 +sen{overline{T_k(varrho)-varrho}}_1}^frac{gamma-1}{2gamma}\ & & o 0quad sex{k oinfty} eex$$ 知 $I_2 o 0 (k oinfty, delta o 0^+)$.
至此, eqref{eq} 弱解的存在性证毕.