1 并集 (union)
(1) 定义: $$ex cup_{lambdain vLa}A_lambda =sed{x;exists lambdain vLa,st xin A_lambda}. eex$$
(2) 例 1: $$ex vLa=bZ^+,quad A_lambda=sed{frac{m}{lambda};minbZ},quad cup_{lambdain vLa}A_lambda=bQ. eex$$
(3) 例 2: $$ex cup_{n=1}^infty sez{a+frac{1}{n},b-frac{1}{n}}=(a,b). eex$$
(4) 例 3: $$ex cup_{n=1}^infty sed{x;f(x)>frac{1}{n}}=sed{x;f(x)>0}. eex$$
2 交集 (intersection)
(1) 定义: $$ex cap_{lambdain vLa}A_lambda =sed{x;forall lambdainvLa,mbox{ 有 }xin A_lambda}. eex$$
(2) 例 1: $$ex cap_{n=1}^inftysex{a-frac{1}{n},b+frac{1}{n}}=[a,b]. eex$$
(3) 例 2: 设 $f_n$ 是 $E$ 上的函数列, 则对 $forall cinbR$, $$ex sed{x;sup_nf_n(x)leq c}=cap_{n=1}^inftysed{x;f_n(x)leq c}; eex$$ $$ex sed{x;inf_nf_n(x)<c}=cup_{n=1}^infty sed{x;f_n(x)<c}. eex$$
3 交并运算律、De Morgan 律及其他
(1) 交换律 (commutativity): $$ex Acup B=Bcup A, quad Acap B=Bcap A. eex$$
(2) 集合律 (associativity): $$ex (Acup B)cup C=Acup (Bcup C),quad (Acap B)cap C=Acap(Bcap C). eex$$
(3) 分配律 (distributivity): $$ex Acup(Bcap C)=(Acup B)cap(Acup C), quad Acap(Bcup C)=(Acap B)cup(Acap C). eex$$
(4) 幂等律 (idempotency): $$ex Acup A=A,quad Acap A=A. eex$$
(5) 差 (difference), 补 (complement): $$ex As B=sed{x;xin A,x otin B},quad A^c=sed{xin S;xin A}quadsex{Smbox{ 是全集}}. eex$$
(6) De Morgan 律: $$ex sex{cap_{lambdain vLa}A_lambda}^c =cup_{lambdain vLa}A_lambda^cquadsex{mbox{交的补=补的并}}; eex$$ $$ex sex{cup_{lambdain vLa}A_lambda}^c =cap_{lambdain vLa}A_lambda^cquadsex{mbox{并的补=补的交}}. eex$$
4 数学语言的集合表示
(1) 关键点: $$ex mbox{存在}lrambox{并运算},quad mbox{任意}lrambox{交运算}. eex$$
(2) 例 1: $$eex ea &quadlim_{n oinfty}a_n=a\ &lra forall kinbZ^+, exists NinbZ^+, forall ngeq N,mbox{ 有 }ain sex{a_n-frac{1}{k},a_n+frac{1}{k}}\ & a ain cap_{k=1}^infty cup_{N=1}^inftycap_{n=N}^infty sex{a_n-frac{1}{k},a_n+frac{1}{k}}. eea eeex$$
再由极限的唯一性即知 $$ex sed{a}=cap_{k=1}^infty cup_{N=1}^inftycap_{n=N}^infty sex{a_n-frac{1}{k},a_n+frac{1}{k}}. eex$$
(3) 例 2: $$ex sed{x;sed{f_n(x)}mbox{ 有界}} =cup_{MinbR^+}cap_{n=1}^infty sed{x;f_n(x)leq M}. eex$$
(4) 例 3: $$ex sed{x;lim_{n oinfty}f_n(x)=0} =cap_{ve>0}cup_{NinbN}cap_{ngeq N}sed{x;|f_n(x)|<ve}. eex$$
(5) 思考题: $$ex sed{x;sed{f_n(x)}mbox{ 无界}}=? eex$$ $$ex sed{x;lim_{n oinfty}f_n(x) eq 0mbox{ 或不存在}}=? eex$$
提示: 利用 De Morgan 律.
5 上、下极限集
设 $sed{A_n}$ 是一集列.
(1) 定义: $sed{A_n}$ 的上限集 $$eex ea varlimsup_{n oinfty}A_n &=sed{x;mbox{存在无穷多个 }n,mbox{ 使得 }xin A_n}\ &=sed{x;forall ninbZ^+, exists mgeq n,st xin A_m}\ &=cap_{n=1}^inftycup_{m=n}^infty A_m. eea eeex$$
(2) 定义: $sed{A_n}$ 的下限集 $$eex ea varliminf_{n oinfty}A_n &=sed{x;mbox{当 }nmbox{ 充分大时}, xin A_n}\ &=sed{x;exists ninbZ^+, forall mgeq n,mbox{ 有 } xin A_m}\ &=cup_{n=1}^inftycap_{m=n}^infty A_m; eea eeex$$
(3) 例 1: $$eexea sed{a}&=cap_{k=1}^infty cup_{N=1}^inftycap_{n=N}^infty sex{a_n-frac{1}{k},a_n+frac{1}{k}}\&=cap_{k=1}^infty varliminf_{n oinfty}sex{a_n-frac{1}{k},a_n+frac{1}{k}}. eeaeeex$$
(4) 例 2: 设 $$ex A_{2m+1}=sez{0,2-frac{1}{2m+1}},quad m=0,1,2,cdots; eex$$ $$ex A_{2m}=sez{0,1+frac{1}{2m}},quad m=1,2,3,cdots. eex$$
求 $dps{varlimsup_{n oinfty}A_n, varliminf_{n oinfty}A_n}$.
提示: 直接利用定义可求得结果为 $[0,1]$, $[0,2)$.
(5) 关系:
$$ex cap_{n=1}^infty A_nsubset varliminf_{n oinfty}A_n subset varlimsup_{n oinfty}A_n subset cup_{n=1}^infty A_n. eex$$
(6) 集列极限存在的定义: $$ex lim_{n oinfty}A_nmbox{ 存在}lra varliminf_{n oinfty}A_n=varlimsup_{n oinfty}A_n. eex$$
6 单调集列
设 $sed{A_n}$ 是一集列.
(1) 若 $A_1subset A_2subset A_3subsetcdots$, 则称 $sed{A_n}$ 为单增集列.
(2) 若 $A_1supset A_2supset A_3supsetcdots$, 则称 $sed{A_n}$ 为单减集列.
(3) 若 $A_n$ 单增, 则 $$ex lim_{n oinfty}A_n=cup_{n=1}^infty A_n; eex$$ 若 $A_n$ 单减, 则 $$ex lim_{n oinfty}A_n=cap_{n=1}^infty A_n. eex$$
提示: 利用集列极限存在定义证明之.
(4) 例 1: $$eex ea sed{x;f(x)>0} &=cup_{n=1}^infty sed{x;f(x)>frac{1}{n}}\ &=lim_{n oinfty}sed{x;f(x)>frac{1}{n}}. eea eeex$$
7 集合的直积 (Cartesian product)
(1) 定义: 设 $sed{A_i}_{i=1}^n$ 是集合, 则称 $$ex prod_{i=1}^n A_i=A_ imes cdots imes A_n=sed{(a_1,cdots,a_n);a_iin A_i} eex$$
为 $A_1,cdots,A_n$ 的直积; 类似的, $$ex prod_{i=1}^infty A_i=sed{(a_1,cdots,a_n,cdots);a_iin A_i}, eex$$ $$ex A^n=underbrace{A imes A imescdots imes A}_{nmbox{ 个}}. eex$$
(2) 例 1: $$ex bR^infty=sed{(a_1,cdots,a_n,cdots);a_ninbR} eex$$
是实数列全体.