[实变函数]2.1 度量空间 (metric space), $n$ 维 Euclidean 空间

1 回忆:    $$ex    lim_{n oinfty}a_n=alra forall ve>0, exists N, forall ngeq N,mbox{ 有 }|a_n-a|<ve.    eex$$     

    $bR$ 中有 ``距离'' (可以衡量两数的接近程度, 这里是绝对值) 的概念.    

   

2 拓广: 设 $X$ 是一个集合, $d:X imes X o [0,infty)$ 满足    

    (1) 正定性 (positivity): $d(x,y)geq 0$, $d(x,y)=0lra x=y$;  

    (2) 对称性 (symmetry): $d(x,y)=d(y,x)$;    

    (3) 三角不等式 (triangle inequality): $d(x,y)leq d(x,z)+d(z,y)$;

    则称 $d$ 为 $X$ 上的一个距离 (distance), 

    $(X,d)$ 称为度量空间 (metric space).     

 

3 对称性 $+$ 三角不等式 $lra$ $d(x,y)leq d(x,z)+d(y,z)$.    

   证明: $ra$ 显然. 

    $la$ 取 $z=x$, 有 $$ex d(x,y)leq d(x,x)+d(y,x) a d(x,y)leq d(y,x). eex$$ 

    互换 $x,y$ 的位置而得 $d(x,y)=d(y,x)$.  

 

 

4 若 $(X,d)$ 是度量空间, $vno eq Ysubset X$, 则 $(Y,d)$ 于是度量空间, 称为 $(X,d)$ 的子

    空间.  

  

5 例: 在 $bR^n$ 中, 对    $$ex    x=(x_1,cdots,x_n),quad y=(y_1,cdots,y_n),    eex$$    

    定义    $$ex    d(x,y)=sez{sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}^{1/2},    eex$$    

    则 $(bR^n,d)$ 为度量空间, 称为 $n$ 维 Euclidean 空间, $d$ 称为 Euclidean 距离.    

 

  6 邻域、极限及其他.    

    (1) $U(P_0,delta)=U(P_0)=sed{P; d(P,P_0)<delta}$.    

    (2) $$ex lim_{n oinfty}P_n=P_0lra forall ve>0, exists N, forall ngeq N,mbox{ 有 }P_nin U(P_0,ve). eex$$

    (3) $$ex d(A,B)=inf_{Pin A,Qin B}d(P,Q);quad diam(E)=sup_{Pin E,Qin E}d(P,Q). eex$$    

    (4) $$eex ea Embox{ 有界}&lra diam(E)<infty\    &lra exists R>0, forall xin E, d(x,0)<R. eea eeex$$    

    (5) $n$ 为开、闭区间为 $$ex prod_{i=1}^n (a_i,b_i),quad prod_{i=1}^n [a_i,b_i], eex$$ 

        它们都有 ``体积'' $dps{prod_{i=1}^n (b_i-a_i)}$.