[实变函数]2.5 Cantor 三分集

   1 Cantor 三分集的构造:                $$ex P=cap_{n=1}^infty F_n.                   eex$$    

   2 Cantor 三分集的性质                                

    (1) $P$ 是完备集.                

    (2) $P$ 没有内点:                    $$ex     xin P a forall n, xin F_n a                    Usex{x,3^{-n}} otsubset F.                    eex$$                

    (3) $[0,1]s P$ 是可数个互不相交的开区间的并, 总长为 $1$:                    $$ex     frac{1}{3}+frac{2}{3^2}+frac{2^2}{3^3}+cdots=1.                    eex$$                

    (4) $P$ 的基数为 $c$:                    $$ex     P i 2sum_{n=0}^infty frac{a_n}{3^n} (a_n=0,1)mapsto sum_{n=1}^infty frac{a_n}{2^n}in [0,1].                    eex$$                

    (5) 总结: Cantor 三分集是一个测度为零且基数为 $c$ 的疏朗完备集. 

        (这里, 一集 $E$ 是疏朗集 $lra E^{-o}=vno$, 有个等价的说法见疏集与稠集).   

    (6) 作业: Page 51 T 10.