1 可测集的例子:
(1) 零测度集可测: $$ex Embox{ 是零测度集}lra m^*E=0. eex$$
证明: $$ex m^*Tgeq m^*(Tcap E^c)=m^*(Tcap E)+m^*(Tcap E^c). eex$$
(2) (开、闭、半开半闭) 区间 $I$ 可测, 且 $mI=|I|$.
(3) 开集、闭集可测.
(4) Borel 集可测. $$ex a{ll} sigmambox{ 代数}: &mbox{ 一个集族 }Omega, mbox{ 适合 }bR^nin Omega,mbox{ 且对可数并、补运算封闭}.\ &mbox{例如: }scrMmbox{ 是 }sigmambox{ 代数.}\ mbox{生成 }sigmambox{ 代数}: &mbox{包含集族 }vSambox{ 的最小的 }sigmambox{ 代数 }sex{=cap_{Omegasupset vSa}Omega}mbox{ 称为由 }vSambox{ 生成的 }sigmambox{ 代数}.\ Borel mbox{ 代数}:&mbox{ 由 }bR^nmbox{ 中所有开集生成的 }sigmambox{ 代数, 记作 }scrB.\ Borelmbox{ 集}:&mbox{集族} scrBmbox{ 中的集合}. ea eex$$
证明: $$ex sed{mbox{开集}}subset scrM a scrBsubset scrM. eex$$
2 可测集的构造.
(1) 定义: $$ex a{ll} G_deltambox{ 集}:&G=cap_{i=1}^infty O_i\ F_sigmambox{ 集}:&F=cup_{i=1}^infty F_i. ea eex$$
(2) 可测集 $= G_delta$ 集 $s$ 零测度集: $$ex Embox{ 可测} a exists G_deltambox{ 集 }G,mbox{ 零测度集 }Z_1,st E=Gs Z_1. eex$$
证明: 由 $$eex ea E&=cup_{i=1}^infty E_nquadsex{E_i=Ecap B(0,i)}\ &=cup_{i=1}^infty (G_is Z_i)\ &=cup_{i=1}^infty G_is cap_{i=1}^infty Z_i eea eeex$$
知可仅考虑 $mE<infty$ 的情形. 此时, 由外测度的定义, $$ex forall ve>0, exists sed{I_i},st cup_{i=1}^infty I_isupset E, sum_{i=1}^infty |I_i|<mE+ve. eex$$
令 $dps{O=cup_{i=1}^infty O_i}$, 则 $$ex mEleq mOleq sum_{i=1}^infty mI_i =sum_{i=1}^infty |I_i|<mE+ve a m(Os E)<ve. eex$$
然后对 $forall iinbZ^+$, $dps{exists O_i,st m(O_is E)<frac{1}{i}}$; 令 $$ex G=cap_{i=1}^infty O_i,quad Z_1=Gs E, eex$$
则 $Gs Z=E$, 且 $$ex mZ_1=msex{cap_{i=1}^infty O_is E}leq m(O_is E)<frac{1}{i} a mZ_1=0. eex$$
(3) 可测集 $=$ $F_sigma$ 集 $cup$ 零测度集: $$ex Embox{ 可测} a exists F_sigmambox{ 集}, mbox{零测度集 }Z_2,st E=Fcup Z_2. eex$$
证明: 由可测集的性质 (2), $$ex E^c=Gs Z_1=Gcap Z_1^c a E=G^ccup Z_1. eex$$
3 可测集的内、外正规性: $$ex Embox{ 可测} asedd{a{ll} (mbox{外正规性}): mE=inf sed{mO; Osupset E}\ (mbox{内正规性}): mE=supsed{mK; Ksubset E} ea}. eex$$
证明: 先证外正规性. 若 $mE=infty$, 则结论显然成立. 往设 $mE<infty$. 由可测
集的构造知 $$ex forall ve>0, exists O,st m (Os E)<ve. eex$$
再证内正规性. 若 $E$ 有界, 则由外正规性, $$ex forall ve>0, exists Osupset E^c,st m(Os E^c)=m(Es O^c)<ve. eex$$
取 $K=O^csubset E$ 即知 $K$ 是紧集. 若 $E$ 无界, 则 $$ex E=lim_{i oinfty} E_i,quad E_i=Ecap B(0,n). eex$$
对每个 $E_i$, 由已证的有界情形的内正规性知 $$ex exists K_isubset E_isubset E,st mE_i-frac{1}{i}<mK_ileq mE_i. eex$$
于是$$ex lim_{i oinfty}mK_i=mE. eex$$
4 作业: Page 75, T 10, T 11.