[实变函数]5.1 Riemann 积分的局限性, Lebesgue 积分简介

1 Riemann 积分的局限性                

    (1) Riemann 积分与极限的条件太严:    $$ex    f_k ightrightarrows f a lim int_a^b f_k    =int_a^b lim f_k.    eex$$    

        这 ``一致收敛'' 极大地限制了 Riemann 积分的应用.      

    (2) 积分运算不完全是微分运算的逆运算:    $$ex    fmbox{ 在 }xmbox{ 连续} a frac{ d}{ d x}int_a^x f(t) d t=f(x),    eex$$    

        但微分后再积分不一定能还原. 比如 Volterra 于 1881 年构造了一可微函

        数 $F(x)$, 其导函数 $f(x)$ 有界但不 Riemann 可积, 而    $$ex    F(x)=F(a)+int_a^xf(t) d t    eex$$    

        步成立.    

 

2 鉴于 Riemann 积分的以上缺陷, Lebesgue 于 1902 年引入了 Lebesgue 积分, 很

    大程度上摆脱了以上 Riemann 积分的困境.    

 

3 Lebesgue 积分的的步骤                

    (1) Riemann 积分主要为: ``竖分割, 求和, 取极限'':    $$ex    lim sum f(xi_i)(x_i-x_{i-1});    eex$$        

    (2) Lebesgue 积分主要为: ``横分割, 求和, 取极限'':    $$ex    lim sum y_i mE[y_ileq f< y_{i+1}].    eex$$            

 

4 Lebesgue 积分的基本思路                

    (1) 易知 $fgeq 0 a $ 积分 $geq 0$; $fleq 0 a$ 积分 $leq 0$; 一般 $f a$ 积分 $=$ 正、负面

        积的代数和. 我们考虑的可测函数 $f:E ooverline{bR}$, 其正面积可能为 $infty$, 负面

        积可能为 $infty$, 而可能出现 $infty-infty$ 的不定情形. 所以我们先考虑非负函数的积分.

    (2) 对非负函数的积分, 有一个特别简单的情形, 那就是简单函数的积分.        

    (3) 所以本章的结构如下:    

       $S 2$ 考虑非负简单函数的 Lebesgue 积分;    

       $S 3$ 考虑非负可测函数的 Lebesgue 积分;    

       $S 4$ 考虑一般可测函数的 Lebesgue 积分;    

       $S 5$ 指出 Riemann 积分与 Lebesgue 积分的关系;    

       $S 6$ 推广 Fubini 定理.