1. 复数: $$eex ea bC&=sed{z=x+iy;x,yinbR},\ z&=x+iyquad(mbox{代数形式})\ &=(x,y)quad(mbox{实数对形式}\ &=re^{i t}quad(mbox{指数形式}), eea eeex$$ 其中 $$eex ea x&equivRe zquad(mbox{称为实部}),\ y&equivIm zquad(mbox{称为虚部}),\ r&=sqrt{x^2+y^2}equiv |z|quad(mbox{称为模}),\ t&=Arg zquad(mbox{称为辐角})\ &=arg z+2kpiquad(-pi<arg zleqpimbox{称为主辐角}). eea eeex$$
2. 四则运算: 设 $$eex ea z_1&=x_1+iy_1=(x_1,y_1)=r_1e^{i t_1},\ z_2&=x_2+iy_2=(x_2,y_2)=r_2e^{i t_2}, eea eeex$$ 则 $$eex ea z_1pm z_2&=(x_1pm x_2)+i(y_1pm y_2)quad(mbox{对应着向量的加减}),\ z_1cdot z_2&=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)\ &=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1)\ &=r_1r_2e^{i( t_1+ t_2)}\ &quadsex{ a sedd{a{ll}|z_1z_2|=|z_1|cdot |z_2|\ Arg(z_1z_2)=Arg z_1+Arg z_2\ ze^{i t}mbox{ 相当于 }zmbox{ 旋转了 } tmbox{ 角}ea}}\ frac{z_1}{z_2} &=frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}\ &=frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}quadsex{mbox{乘以分母的共轭, 称为分母实化}}\ &=frac{x_1x_2+y_1y_2+i(-x_1y_2+x_2y_1)}{x_2^2+y_2^2}\ &=frac{r_1e^{i t_1}}{r_2e^{i t_2}}\ &=frac{r_1}{r_2}e^{i( t_1- t_2)}\ &quadsex{ asedd{a{ll} sev{cfrac{z_1}{z_2}}=cfrac{|z_1|}{|z_2|}\ Arg cfrac{z_1}{z_2}=Arg z_1-Arg z_2 ea}}. eea eeex$$ 在这里, 我们引进了共轭复数这一概念: $$ex z=x+iy=re^{i t} a ar z=x-iy=re^{-i t}. eex$$ 总结: 在作复数加减运算时, 采用代数形式; 在作复数乘除运算时, 采用指数形式.
3. 乘幂与方根
(1) 乘幂 $$eex ea z=re^{i t} a z^n=r^ne^{in t} a sedd{a{ll} |z^n|=|z|^n,\ Arg z^n=ncdotArg z. ea} eea eeex$$
应用:
a. 当 $r=1$ 时, $$eex ea (cos t+isin t)^n=(e^{i t})^n=e^{in t}=cos n t+isin n t, eea eeex$$ 此为 De Moivre 公式, 用它可以把 $cos n t,sin n t$ 用 $cos t,sin t$ 表示出来.
b. 在计算乘幂时应采用指数形式.
(2) 方根 设 $sqrt[n]{z}=w$, 而 $$ex z=re^{i t},quad w= ho e^{iphi}, eex$$ 则 $$eex ea &quad re^{i t}=z=w^n= ho^ne^{inphi}\ & a ho=sqrt{n},quad nphi= t+2kpi (kinbZ)\ & a sqrt{z}=w= ho e^{iphi} =sqrt[n]{r}e^{ifrac{ t+2kpi}{n}}quad (k=0,1,2,cdots,n-1)\ &=sqrt[n]{r}e^{ifrac{ t}{n}}cdot e^{ifrac{2kpi}{n}}quad(k=0,1,2,cdots,n), eea eeex$$ 这 $n$ 个方根依次联结起来成为正 $n$ 变形的顶点.
例: 求 $sqrt[3]{-27}$. $$ex sqrt[3]{-27}=sqrt[3]{27e^{ipi}} =3e^{ifrac{pi+2kpi}{3}},quad (k=0,1,2). eex$$
作业: 第一章习题 T 2, T 3.