4. 一些概念及性质
(1) $$eex ea z=xinbR&quadmbox{实数},\ z=x+iy (y eq 0)&quadmbox{虚数},\ z=iy (y eq 0)&quadmbox{纯虚数}. eea eeex$$
(2) 代数恒等式在复数域上仍然成立, 比如 $$ex a^2-b^2=(a+b)(a-b),quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. eex$$
(3) 设 $z=x+iyequiv Re z+iIm z$, 则 $$ex |Re z|leq |z|,quad |Im z|leq |z|, eex$$ $$ex (mbox{三角不等式})quad ||z_1|-|z_2||leq |z_1pm z_2|leq |z_1|+|z_2|. eex$$
(4) 主辐角与 $arctancfrac{y}{x}$ 的关系 (画图即知).
5. 一些例子:
(1) 化 $1-cosphi+isinphi$ 为指数形式.
(2) 求 $w=cfrac{1+z}{1-z} (z eq 1)$ 的实部、虚部及模.
(3) 验证 $$eex ea |z_1+z_2|^2&=|z_1|^2+|z_2|^2+2Re (z_1ar z_2),\ (mbox{平行四边形法则})&|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2(|z_1|^2+|z_2|^2). eea eeex$$
(4) 证明: $$ex |a|<1,quad |b|<1 a sev{cfrac{a-b}{1-ar ab}}<1. eex$$
6. 在几何中的应用
(1) 直线段的表示: $$ex [z_1,z_2]=sed{z_1+t(z_2-z_1); 0leq tleq 1}. eex$$
(2) 圆、实轴、虚轴: $$ex |z-z_0|=R,quad Im z=0,quad Re z=0. eex$$
(3) $z_1,z_2,z_3$ 为等边三角形 $lra z_1^2+z_2^2+z_3^2=z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1$. (4) 证明三角形的内角和为 $pi$.
作业: 第一章习题 T 7, T 8.