1. 指数函数
(1) 定义: $$ex e^z=e^{x+iy}=e^x(cos y+isin y). eex$$
(2) 性质:
a. $e^z$ 在 $bC$ 上解析, 且 $(e^z)'=e^z$.
b. 当 $z=xinbR$ 时, $e^z=e^x$ 为实指数函数, 且 $$ex e^{z_1+z_2}=e^{z_1}cdot e^{z_2}. eex$$
c. $|e^z|=e^x>0 a e^z eq 0$, $Arg e^z=y$.
d. $e^z$ 是以 $2pi i$ 为基本周期的周期函数: $$ex e^{z+2kpi i}=e^z,quad kinbZ. eex$$
e. $dps{lim_{z oinfty}e^z}$ 不存在: $$ex lim_{bR i z o-infty}e^z=0,quad lim_{bR i z o+infty}e^z=+infty. eex$$
(3) 注记:
a. 若 $Re z=0$, 则 $$ex e^{iy}=cos y+isin y a e^{ipi}=-1 a e^{ipi}+1=0, eex$$ 将数学中最重要的常数联系了起来. 参考 Euler 公式的美.
b. $$eex ea e^{z_1}=e^{z_2} & a e^{z_1-z_2}=1\ & a e^xcdot e^{iy}=1quad(z_1-z_2=x+iy)\ & a x=1,quad y=2kpiquad (kinbZ)\ & a z_1-z_2=e^{2kpi i}quad(kinbZ). eea eeex$$
c. $e^z=e^{z+2pi i}$, 但 $e^z eq 0$. 于是 Rolle 定理在复数域内不再成立. 当 L'Hospital 法则仍然成立: $$ex lim_{z o z_0}frac{f(z)}{g(z)} =lim_{z o z_0}frac{f'(z)}{g'(z)}. eex$$
2. 三角函数与双曲函数
(1) 引言: $$ex e^{iy}=cos y+isin y a cos y=frac{e^{iy}+e^{-iy}}{2},quad sin y=frac{e^{iy}-e^{-iy}}{2i}quad (yinbR). eex$$
(2) 定义: $$ex cos z=frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},quad sin z=frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},quad(zinbC). eex$$
(3) 性质:
a. 在 $bC$ 上解析, 且 $$ex (cos z)'=-sin z,quad (sin z)'=cos z. eex$$
b. $sin z$ 奇, $cos z$ 偶, 且 $$eex ea sin^2z+cos^2z&=1,\ sin(z_1+z_2)&=sin z_1cos z_2+cos z_1sin z_2,\ cos(z_1+z_2)&=cos z_1cos z_2-sin z_1sin z_2. eea eeex$$
c. $|sin z|leq 1$, $|cos z|leq 1$ 不再成立 ($z^2 eq |z|^2$), 且 $sin z,cos z$ 无界: $$ex |sin iy|=sev{frac{e^y-e^{-y}}{2i}} geq frac{e^y-1}{2} o inftyquad(0<y o+infty). eex$$
d. $sin z,cos z$ 以 $2pi$ 为周期.
e. $sin z$ 的零点为 $kpi (kinbZ)$; $cos z$ 的零点为 $dps{kpi+frac{pi}{2} (kinbZ)}$: $$ex sin z=frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=0 a e^{2iz}=1 a 2iz=2kpi i a z=kpi (kinbZ). eex$$
f. $sin (z+w)=sin zquad (forall zinbC) a z=2kpi (kinbZ)$: $$eex ea &quad 0=sin (z+w)-sin z=2cos sex{z+frac{w}{2}}sin frac{w}{2}\ & a sinfrac{w}{2}=0 a frac{w}{w}=kpi a w=2kpi. eea eeex$$
(4) 正切, 余切, 正割, 余割: $$ex an z=frac{sin z}{cos z},quad cot z=frac{cos z}{sin z},quad sec z=frac{1}{cos z},quad csc z=frac{1}{sin z}. eex$$
(5) 性质:
a. 除去使分母为零的点外均解析, 且 $$eex ea ( an z)'=sec^z,&quad (cot z)'=-csc^2z,\ (sec z)'=sec z an z,&quad (csc z)'=-csc zcot z. eea eeex$$
b. $ an z$, $cot z$ 以 $pi$ 为周期; $sec z, csc z$ 以 $2pi$ 为周期. 例: $ an (z+w)= an z (forall zinbC) a w=kpi (kinbZ)$.
(6) 双曲正弦, 双曲余弦, 双曲正切, 双曲余切, 双曲正割, 双曲余割: $$eex ea sinh z=frac{e^z-e^{-z}}{2},&quad cosh z=frac{e^z+e^{-z}}{2},\ anh z=frac{sinh z}{cosh z},&quad coth z=frac{cosh z}{sinh z},\ sech z=frac{1}{cosh z},&quad csch z=frac{1}{sinh z}. eea eeex$$
作业: Page 91 T 13 (1) , Page 92 T 20 (1) .