0. 引言
(1) 单值函数 (通常的函数), 多值函数 (如 $sqrt[n]{z}$, $Arg z$).
(2) 单叶函数: $$ex fmbox{ 在区域 }D mbox{ 内单叶: } z_1 eq z_2 a f(z_1) eq f(z_2). eex$$ 而也称 $D$ 为 $f$ 的单叶性区域.
例: $w=z^2$ 在 $bC$ 上不是单叶的, 但在 $Im z>0$ 上是单叶的.
1. 根式函数
(1) 定义: $$ex z=re^{i t} a w=sqrt[n]{z}=sqrt[n]{r}e^{ifrac{ t}{n}} cdot e^{ifrac{2kpi}{n}}quad(k=0,1,2,cdots,n-1). eex$$
(2) 怎么使 $w=sqrt[n]{z}$ 是单值函数呢?
a. $z=re^{i t}$, 把 $ t$ 范围定下来 (使其不相差 $2pi$ 的整数倍). 比如沿负实轴割开 $z$ 平面, 则 $$ex -pi<Arg zleq pi (mbox{主辐角}),mbox{ 或 } -pileq t<pi; eex$$ 按照上下左右岸来定 $=$.
b. 把 $k$ 定下来, 称为 $sqrt[n]{z}$ 的第 $k$ 个单值解析分支.
(3) 例: 设 $w=sqrt[3]{z}$ 确定在从原点 $z=0$ 起沿着负实轴割破了的 $z$ 平面上, 并且 $w(i)=-i$. 求 $w(-i)$.
解:
a. 沿负实轴割破 $z$ 平面 $ a -pi <Arg zleq pi$.
b. $$ex -i=w(i)=sqrt[3]{i}=sqrt[3]{e^{ifrac{pi}{2}}} =e^{ifrac{pi}{6}} cdot e^{ifrac{2kpi}{3}} a k=2. eex$$
c. $$eex ea w(z)&=sqrt[3]{r}e^{ifrac{ t}{3}}cdot e^{ifrac{4pi}{3}}quad(z=re^{i t}),\ w(-i)&=w(e^{-ifrac{pi}{2}})=e^{isex{frac{-frac{pi}{2}}{3}+frac{4pi}{3}}} =e^{ifrac{7pi}{6}}. eea eeex$$
(4) 例: 设 $w=sqrt[3]{z}$ 确定在从原点 $z=0$ 起沿着负实轴割破了的 $z$ 平面上, 并且 $w(-1)=-1$, 这里 $-1$ 是边界上岸的点. 求 $w(-i)$.
解:
a. 沿负实轴割破 $z$ 平面 $ a -pi <Arg zleq pi$.
b. $$ex -i=w(-1)=w(e^{ipi}) =e^{ifrac{pi}{3}}cdot e^{ifrac{2kpi}{3}} a k=1. eex$$
c. $$eex ea w(z)&=sqrt[3]{r}e^{ifrac{ t}{3}}cdot e^{ifrac{2pi}{3}}quad(z=re^{i t}),\ w(-i)&=w(e^{-ifrac{pi}{2}}) =e^{isex{frac{-frac{pi}{2}}{3}+frac{2pi}{3}}} =e^{ifrac{pi}{2}}=i. eea eeex$$
(5) 例: 设 $w=sqrt[3]{z}$ 确定在从原点 $z=0$ 起沿着正实轴割破了的 $z$ 平面上, 并且 $w(i)=-i$. 求 $w(-i)$.
解:
a. 沿正实轴割破 $z$ 平面 $ a 0<Arg zleq 2pi$ 或 $0leq Arg z<2pi$.
b. $$ex -i=w(i)=sqrt[3]{i}=sqrt[3]{e^{ifrac{pi}{2}}} =e^{ifrac{pi}{6}} cdot e^{ifrac{2kpi}{3}} a k=2. eex$$
c. $$eex ea w(z)&=sqrt[3]{r}e^{ifrac{ t}{3}}cdot e^{ifrac{4pi}{3}}quad(z=re^{i t}),\ w(-i)&=w(e^{ifrac{3pi}{2}}) =e^{ifrac{pi}{2}}cdot e^{ifrac{4pi}{3}} =e^{ifrac{11pi}{6}}. eea eeex$$
2. 对数函数
(1) 定义: 把 $e^w=z$ 的反函数称为对数函数 $w=Ln z$.
(2) 设 $z=re^{i t}$, $w=u+iv$, 则 $$eex ea &quad e^ucdot e^{iv}=re^{i t}\ & a e^u=r,quad v= t+2kpi\ & a w=ln r+i( t+2kpi). eea eeex$$
(3) 怎么使 $w=Ln z$ 为单值函数呢?
a. 把 $ t$ 的范围定下 (割破 $z$ 平面). 同 $sqrt[n]{z}$ 的讨论.
b. 把 $k$ 定住, 称为 $Ln z$ 的第 $k$ 个单值解析分支.
(4) 例: 设 $w=Ln z$ 确定在从原点 $z=0$ 起沿着负实轴割破了的 $z$ 平面上, 并且 $w(i)=cfrac{5pi i}{2}$. 求 $w(-i)$.
解:
a. $-pi<Arg z<pi$.
b. $$ex frac{5pi i}{2}=w(i)=w(e^{ifrac{pi}{2}}) =isex{frac{pi}{2}+2kpi} a k=1. eex$$
c. $$eex ea w(z)&=ln r+i( t+2pi)quad(z=re^{i t}),\ w(-i)&=w(e^{-ifrac{pi}{2}}) =isex{-frac{pi}{2}+2pi} =frac{3pi i}{2}. eea eeex$$
3. 幂函数、一般指数函数: $$ex w=z^alpha=e^{alphaLn z},quad w=a^z=e^{zLn a}. eex$$
作业: P 92 T 22, T 23.