1. 孤立奇点的三种类型
(1) 定义
(2) $$eex ea 0<|z-a|<R a f(z)=&sum_{n=0}^infty c_n(z-a)^nquadsex{mbox{正则部分}}\ &+sum_{n=-infty}^{-1}c_n(z-a)^nquadsex{mbox{主要部分: 奇异性质主要看这里}}. eea eeex$$
(3) 分类
a. 若主要部分为零, 则称 $a$ 为 $f$ 的可去奇点 (removable singularity). 例: $cfrac{sin z}{z}$.
b. 若主要部分只有有限多项, 设为 $$ex cfrac{c_{-1}}{z-a}+cdots+cfrac{c_{-m}}{(z-a)^m}quad(c_{-m} eq 0), eex$$ 则称 $a$ 为 $f$ 的 $m$ 阶极点 (pole). [一阶时, 也称单极点]. 例: $cfrac{z}{(z-1)(z-2)}$.
c. 若主要部分有无穷多项, 则称 $a$ 为 $f$ 的本质 (性) 奇点 (essential singularity). 例: $e^frac{1}{z}$.
2. 可去奇点 $$ex a{ccccc} fmbox{ 在 }ambox{ 的一个去心邻域内有界}&lra&ambox{ 为 }fmbox{ 的可去奇点}&lra&fmbox{ 的主要部分为 }0\ &&Updownarrow&&\ &&lim_{z o a}f(z)mbox{ 存在}&& ea eex$$
3. 极点 $$ex a{ccccc} &&lim_{z o a}f(z)=infty &&\ &&Updownarrow&&\ g(z)=cfrac{1}{f(z)}mbox{ 以 }a mbox{ 为 }mmbox{ 阶零点} &lra& fmbox{ 以 }ambox{ 为 }mmbox{ 阶极点}&lra& fmbox{ 的主要部分为 }0\ &&Updownarrow&&\ &&f(z)=cfrac{lm(z)}{(z-a)^m},atopdps{lm(a) eq 0}&& ea eex$$
4. 本质奇点 $$ex ambox{ 为 }fmbox{ 的本质奇点}lra lim_{z o a}f(z)mbox{ 不存在}. eex$$
(1) Weierstrass 定理 [1876]: 设 $a$ 为 $f$ 的本质奇点, 则 $$ex forall A, exists z_n o a,st f(z_n) o A. eex$$
(2) Picard 大定理 [1879]: Weierstrass 定理中的 $f(z_n) o A$ 可换为 $f(z_n)=A$, 除掉某个可能的 $A=A_0$ 外.
5. Schwarz 引理: 设 $f: D=sed{z;|z|leq 1} o D$ 解析, 且 $f(0) =0$, 则 $$ex |f(z)|leq |z|,quad |f'(0) |leq 1. eex$$ 等号成立当且仅当 $exists tinbR,st f(z)=e^{i t}z$ (即 $f$ 为一旋转).
作业: P 213-214 T 4 (1) (7) (8) .