证明不等式: $$ex 1+xlnsex{x+sqrt{1+x^2}}>sqrt{1+x^2},quad x>0. eex$$
证明: 令 $x= an t, 0<t<cfrac{pi}{2}$, 而只要证明 $$ex 1+ an tlnsex{sec t+ an t}>sec t. eex$$ 令 $$ex f(t)=1+ an tlnsex{sec t+ an t}-sec t, eex$$ 则 $f(0)=0$, $f'(t)=sec^2t ln(sec t+ an t)>0$. 于是 $f$ 递增, 而 $f(t)>0$, $t>0$.