设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导, 且 $f(0)=f(1)=0$, $fsex{cfrac{1}{2}}=1$. 证明:对于任意的实数 $lm$, 一定存在 $xiin (0,1)$, 使得 $$ex f'(xi)-lm f(xi)+lm f(xi)=1. eex$$
证明: 设 $F(x)=e^{-lm x}[f(x)-x]$, 则 $$ex F(0)=0,quad Fsex{cfrac{1}{2}}=cfrac{e^{-cfrac{lm}{2}}}{2}>0, quad F(1)=-e^{-lm}<0. eex$$ 故 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值只能在 $(0,1)$ 内的某 $xi$ 处取得, 而 $$ex 0=F'(xi)=e^{-lm xi} sez{-lm f(xi)+lm xi+f'(xi)-1}. eex$$