函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调减, 证明: 对于任何 $alin (0,1)$, $$ex int_0^al f(x) d xgeq al int_0^1 f(x) d x. eex$$
证明: 设 $$ex F(x)=cfrac{int_0^al f(x) d x}{al}, eex$$ 则 $$ex F'(x)=cfrac{f(al)al-int_0^al f(x) d x}{al^2} =cfrac{int_0^al [f(al)-f(x)] d x}{al^2}leq 0. eex$$ 于是 $$ex F(al)geq F(1)=int_0^1 f(x) d x,quad 0<al<1. eex$$