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[再寄小读者之数学篇](2014-06-28 证明级数几乎处处收敛)
设 $fin L(bR)$, 试证: $$ex vsm{n}f(n^2x) eex$$ 在 $bR$ 上几乎处处收敛到一 Lebesgue 函数.
[再寄小读者之数学篇](2014-06-27 向量公式: The Hall term)
$$ex cdot{f b}=0 a imes [( imes {f b}) imes {f b}]= imes [ cdot ({f b}otimes {f b})]. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-06-26 Logarithmical Sobolev inequality using BMO space)
$$ex q>3 a sen{ f}_{L^infty} leq C(q)sez{ 1+sen{ f}_{BMO} ln^frac{1}{2}sex{e+sen{ f}_{W^{1,q}}+sen{f}_{L^infty}} }. eex$$ $$ex mgeq 3 a sen{ f}_{L^infty}leq Csez{ 1+sen{ f}_{BMO} ln^frac{1}{2} sex{1+sen{ f}_{H^m}} }. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-06-26 Besov space estimates)
(1) $$ex sen{D^k f}_{dot B^s_{p,q}}sim sen{f}_{dot B^{s+k}_{p,q}}. eex$$
(2) $$eex ea &quad s>0, qin [1,infty],quad p_1,r_1in [1,infty], cfrac{1}{p}=cfrac{1}{p_1}+cfrac{1}{p_2}=cfrac{1}{r_1}+cfrac{1}{r_2}\ & a sen{fg}_{dot B^s_{p,q}}leq Csex{ sen{f}_{L^{p_1}}sen{g}_{dot B^s_{p_2,q}} +sen{g}_{L^{r_1}}sen{f}_{dot B^s_{r_2,q}} }. eea eeex$$
(3) $$eex ea &quad s_1,s_2leq cfrac{n}{p},quad s_1+s_2>0\ & a sen{fg}_{dot B^{s_1+s_2-frac{n}{p}}_{p,1}} leq Csen{f}_{dot B^{s_1}_{p,1}}sen{g}_{dot B^{s_2}_{p,1}}. eea eeex$$
(4) $$eex ea &quad -cfrac{n}{p}-1<sleq cfrac{n}{p}\ & a sen{[u,lap_q]w}_{L^p} leq c_q 2^{-q(s+1)}sen{u}_{dot B^{-frac{n}{p}+1}_{p,1}}sen{w}_{dot B^s_{p,1}}quadsex{sum_{qin{f Z}} c_qleq 1}. eea eeex$$
(5) $$eex ea &quad s,s_1>0, s= t s_1, 0< t<1\ & a sen{f}_{dot B^s_{2,1}}leq Csen{f}_{dot B^{s_1}_{2,1}}^ t sen{f}_{L^2}^{1- t}. eea eeex$$
(6) [to be determined...the definition of Triebel-Lizorkin space $dot F^s_{infty,q}$ for $1leq q<infty$...] $$ex sen{f}_{BMO}leq Csex{sen{ f}_{BMO}+sen{f}_{L^2}}. eex$$
(7) $$ex sen{f}_{L^infty}leq Csen{f}_{L^2}^frac{1}{4} sen{lap f}_{L^2}^frac{3}{4}. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-06-23 Bernstein's inequality)
$$ex supp hat usubset sed{2^{j-2}leq |xi|leq 2^j} a cfrac{1}{C}2^{jk}sen{f}_{L^p} leq sen{D^k f}_{L^p}leq C2^{jk} sen{f}_{L^p}; eex$$ $$ex supp hat usubset sed{|xi|leq 2^j} a sen{f}_{L^q}leq C2^{jnsex{frac{1}{p}-frac{1}{q}}} sen{f}_{L^p}quadsex{1leq pleq qleq infty}. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-06-26 绝对值不等式)
$$ex sev{x}+sev{y}+sev{z}+sev{x+y+z}geq sev{x+y}+sev{y+z}+sev{z+x}. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-06-23 Grownall-type inequality)
Suppose that $$ex cfrac{ d f}{ d t}+hleq gfquad (f,g,hgeq 0, tin [0,T]). eex$$ Then for $tin [0,T]$, $$ex f(t)+int_0^t h(s) d s leq f(0)sez{ 1+int_0^t g(s) d scdot expsex{int_0^t g(s) d s} }. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-06-23 Hardy 空间、BMO空间与 Triebel-Lizorkin 空间)
$$ex 0<p<infty a H_p=dot F^0_{p,2};quad BMO=dot F^0_{infty,2}. eex$$
$$ex imes({f a} imes{f b})=({f b}cdot ){f a} -({f a}cdot ){f b}+{f a}( cdot{f b})-{f b}( cdot{f a}). eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-06-23 二阶导数估计 [中国科学技术大学2013年高等数学B 考研试题])
设 $f(x)$ 二阶连续可导, $f(0)=f(1)=0$, $dps{max_{0leq xleq 1}f(x)=2}$. 证明: $$ex min_{0leq xleq 1}f''(x)leq -16. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-06-23 积分不等式 [中国科学技术大学2013年高等数学B 考研试题])
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一阶连续可导, $f(a)=0$. 证明: $$ex int_a^b f^2(x) d xleq cfrac{(b-a)^2}{2}int_a^b [f'(x)]^2 d x -cfrac{1}{2}int_a^b [f'(x)]^2 (x-a)^2 d x. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-06-22 发散级数 [中国科学技术大学2012年高等数学B考研试题])
设 $a_n>0$, $S_n=a_1+a_2+cdots+a_n$, 级数 $dps{vsm{n}a_n}$ 发散, 证明: $dps{vsm{n}cfrac{a_n}{S_n}}$ 发散.
[再寄小读者之数学篇](2014-06-22 积分不等式 [中国科学技术大学2012年高等数学B考研试题])
函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调减, 证明: 对于任何 $alin (0,1)$, $$ex int_0^al f(x) d xgeq al int_0^1 f(x) d x. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-06-22 最大值点处导数为零的应用 [中国科学技术大学2012 年高等数学B考研试题])
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导, 且 $f(0)=f(1)=0$, $fsex{cfrac{1}{2}}=1$. 证明:对于任意的实数 $lm$, 一定存在 $xiin (0,1)$, 使得 $$ex f'(xi)-lm f(xi)+lm f(xi)=1. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-06-22 函数恒为零的一个充分条件 [中国科学技术大学2011年高等数学B考研试题])
设 $f(x)$ 在 $bR$ 上连续, 又 $$ex phi(x)=f(x)int_0^x f(t) d t eex$$ 单调递减. 证明: $fequiv 0$.
[再寄小读者之数学篇](2014-06-22 求极限 [中国科学技术大学2011年高等数学B考研试题])
设数列 $sed{x_n}$ 满足 $0<x_1<pi$, $x_{n+1}=sin x_n (n=1,2,cdots)$. (1) 证明 $dps{vlm{n}x_n}$ 存在, 并求其极限; (2) 计算 $dps{vlm{n}sex{cfrac{x_{n+1}}{x_n}}^{frac{1}{x_n^2}}}$; (3) 证明 $dps{vlm{n}sqrt{cfrac{n}{3}}x_n=1}$.
[再寄小读者之数学篇](2014-06-22 不等式 [中国科学技术大学2011年高等数学B考研试题])
证明不等式: $$ex 1+xlnsex{x+sqrt{1+x^2}}>sqrt{1+x^2},quad x>0. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-06-22 求导数 [中国科学技术大学2014年高等数学B考研试题])
设 $f(x)=x^2ln(x+1)$, 求 $f^{(n)}(0)$.
$$ex ( imes{f b}) imes{f b}=- cfrac{|{f b}|^2}{2}+({f b}cdot ){f b}. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-06-21 Beal-Kaot-Majda type logarithmic Sobolev inequality)
For $fin H^s(bR^3)$ with $s>cfrac{3}{2}$, we have $$ex sen{f}_{L^infty}leq Csex{1+sen{f}_{dot B^0_{infty,infty}}}ln sex{1+sen{f}_{H^s}},quad s>cfrac{3}{2}. eex$$
Assume that $a$ is a positive constant, $x(t),y(t)$ are two nonnegative $C^1(bR^+)$ functions, and $D(t)$ is a nonnegative function, satisfying $$ex cfrac{ d}{ d t} (x^2+y^2)+D leq a(x^2+y^2+x+y)D. eex$$ If additionally, the initial data satisfy $$ex x^2(0)+y^2(0)+sqrt{2(x^2(0)+y^2(0))}<cfrac{1}{a}, eex$$ then, for any $t>0$, one has $$ex x^2(t)+y^2(t)+x(t)+y(t)<x^2(0)+y^2(0)+sqrt{2(x^2(0)+y^2(0))}<cfrac{1}{a}. eex$$
$$ex sum_{|al|leq m}sen{D^al (fg)-(D^al f)g}_{L^2} leq Csex{sen{f}_{L^infty}sen{g}_{H^m}+sen{f}_{H^{m-1}}sen{ g}_{L^infty}}. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-06-20 求极限-L'Hospital 法则的应用)
设 $fin C[0,+infty)$, $a$ 为实数, 且存在有限极限 $$ex vlm{x}sez{f(x)+aint_0^x f(t) d t}. eex$$ 证明; $f(+infty)=0$.
[再寄小读者之数学篇](2014-06-20 求极限-H"older 不等式的应用)
设非负严格增加函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续, 有积分中值定理, 对于每个 $p>0$ 存在唯一的 $x_pin (a,b)$, 使 $$ex f^p(x_p)=cfrac{1}{b-a}int_a^b f^p(t) d t. eex$$ 试求 $dps{vlm{p}x_p}$.
[再寄小读者之数学篇](2014-06-20 渐近等式中的待定常数)
计算以下渐近等式 $$ex int_0^1 cfrac{x^{n-1}}{1+x} d x=cfrac{a}{n}+cfrac{b}{n^2}+osex{cfrac{1}{n^2}}quad(n oinfty) eex$$ 中的待定常数 $a,b$.
[再寄小读者之数学篇](2014-06-20 求极限---Jordan 不等式的应用)
证明: 当 $lm<1$ 时, $dps{lim_{R o+infty} R^lmint_0^{pi/2} e^{-Rsin t} d t=0}$.
[再寄小读者之数学篇](2014-06-20 求极限---积分中值定理的应用)
证明: 当 $m<2$ 时, $dps{lim_{x o 0^+}cfrac{1}{x^m}int_0^x sin cfrac{1}{t} d t=0}$.
[再寄小读者之数学篇](2014-06-20 Beta 函数)
令 $dps{B(m,n)=sum_{k=0}^n C_n^k cfrac{(-1)^k}{m+k+1}}$, $m,ninbN^+$. (1) 证明 $B(m,n)=B(n,m)$; (2) 计算 $B(m,n)$.
设 $ninbN^+$, 计算积分 $dps{int_0^{pi/2} cfrac{sin nx}{sin x} d x}.$
[再寄小读者之数学篇](2014-06-20 积分号下求导)
设 $fin C(-infty,+infty)$, 定义 $dps{F(x)=int_a^b f(x+t)cos t d t}$, $aleq xleq b$. (1) 证明: $F$ 在 $[a,b]$ 上可导; (2) 计算 $F'(x)$.
[再寄小读者之数学篇](2014-06-19 利用分部积分求函数值)
设 $fin C^2[0,pi]$, 且 $f(pi)=2$, $dps{int_0^pi [f(x)+f''(x)]sin x d x=5}$. 求 $f(0)$.
[再寄小读者之数学篇](2014-06-19 满足三个积分等式的函数)
设 $f$ 为 $[0,1]$ 上的连续非负函数, 找出满足条件 $$ex int_0^1 f(x) d x=1,quad int_0^1 xf(x) d x=a,quad int_0^1 x^2f(x) d x=a^2 eex$$ 的所有 $f$, 其中 $a$ 为给定实数.
[再寄小读者之数学篇](2014-06-19 微分等式的结论)
证明: $dps{int_0^{2pi}sex{int_x^{2pi}cfrac{sin t}{t} d t} d x=0}$.
[再寄小读者之数学篇](2014-06-19 三维插值公式)
$$ex sen{f}_{L^q}leq Csen{f}_{L^2}^{frac{3}{q}-frac{1}{2}} sen{ f}_{L^2}^{frac{3}{2}-frac{3}{q}},quad (2leq qleq 6). eex$$
$$ex curl(fbu)= f imesbu+fcurl bu. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-06-19 两个分布积分)
For $2<q<infty$, $$eex ea -int lap bu cdot |bu|^{q-2}bu &=int p_iu_j p_isex{|bu|^{q-2}u_j}\ &=int p_iu_j p_i|bu|^{q-2}u_j+int p_iu_j|bu|^{q-2}p_iu_j\ &=cfrac{1}{2}int p_i|bu|^2cdot p_i|bu|^{q-2} +int |bu|^{q-2}| bu|^2\ &=cfrac{q-2}{2}int |bu|p_i|bu|cdot |bu|^{q-3}p_i|bu| +int |bu|^{q-2}| bu|^2\ &=cfrac{q-2}{2}int |bu|^{q-2}| |bu||^2 +int|bu|^{q-2}| bu|^2\ &=cfrac{2(q-2)}{q^2}int ||bu|^{frac{q}{2}-1}|^2 +int |bu|^{q-2}| bu|^2;\ cfrac{ d}{ d t}|bu|^q &=cfrac{ d}{ d t}(|bu|^2)^frac{q}{2}\ &=cfrac{q}{2}(|bu|^2)^{frac{q}{2}-1}cdot 2bucfrac{ d bu}{ d t}\ &=q|bu|^{q-2} bu cdot cfrac{ d bu}{ d t}. eea eeex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-06-18 积分、微分不等式)
设 $f$ 为 $[0,1]$ 上的连续正函数, 且 $dps{f^2(t)leq 1+2int_0^t f(s) d s}$. 证明: $f(t)leq 1+t$.
[再寄小读者之数学篇](2014-06-18 微分、积分中值定理一起来)
设 $f$ 在 $[0,1]$ 上可微, 且满足条件 $dps{f(1)=3int_0^{1/3} e^{x-1}f(x) d x}$, 证明: 存在 $xiin (0,1)$, 使得 $f(xi)+f'(xi)=0$.
[再寄小读者之数学篇](2014-06-15 右半实轴上的一致连续函数)
(from Longji Zhong) 设 $f$ 在 $(0,infty)$ 上一致连续, 且对 $forall h>0$, $dps{vlm{n}f(nh)}$ 存在. 试证: $dps{vlm{x}f(x)}$ 存在.
[再寄小读者之数学篇](2014-06-14 自然数集到自身的两个不可交换的双射)
(from Yanfei Dai) 设 $M$ 为自然数集, 试给出 $M$ 的两个双射变换 $sigma, au$ 使得 $sigma au eq ausigma$.
[再寄小读者之数学篇](2014-06-14 [四川师范大学 2014 年数学分析考研试题] 积分不等式)
设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上有连续的二阶导数且 $f(0)=f(1)=0$, 但 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上不恒等于零. 证明: $$ex |f(x)|leq cfrac{1}{4}int_0^1 |f''(x)| d x,quad forall xin [0,1]. eex$$
在 [赵春来, 徐明曜, 《抽象代数I》, 习题 1.3, Page 46] 有华罗庚等式: $$ex AB eq 0,E a A-sex{A^{-1}+sex{B^{-1}-A}^{-1}}^{-1}=ABA. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-06-03 微分、积分中值定理的应用)
设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内二阶可导, 且 $$ex lim_{x o 0}cfrac{f(x)}{x^2}mbox{ 存在,}quad int_0^1 f(x) d x=f(1). eex$$ 证明: 存在 $xiin (0,1)$, 使得 $f''(xi)+2xi f'(xi)=0$.
[再寄小读者之数学篇](2014-06-03 一个积分的计算)
试计算 $dps{int_0^{cfrac{pi}{2}}cfrac{x^2}{sin^2x} d x}$.
[再寄小读者之数学篇](2014-06-03 计算两个无穷级数)
(from zhangwuji) $$ex sumlimits_{n=0}^{infty}dfrac{n^3+2n+1}{(n^4+n^2+1)n!},quad sumlimits_{n=0}^{infty}dfrac{1}{(n^4+n^2+1)n!}. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-05-30 存在无穷多个函数, 其复合为恒等函数)
试说明能有无穷多个函数, 其中每个函数 $f$, 皆使得 $fcirc f$ 为 $bR$ 上的恒等函数.
[再寄小读者之数学篇](2014-05-30 有限无界函数)
是否存在这样的函数, 它在区间 $[0,1]$ 上每点取有限值, 在此区间的任何点的任意邻域内无界. (上海师范大学)
(对数不等式) $$ex cfrac{x}{1+x}leq ln(1+x)leq xquad(x>-1), eex$$ 等号当且仅当 $x=0$ 时成立.
[再寄小读者之数学篇](2014-05-30 平均值不等式)
(平均值不等式) 任意 $n$ 个非负实数的几何平均值小于或等于它们的算术平均值, 即 $forall a_igeq 0 (i=1,2,cdots,n)$, 恒有 $$ex sqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}leq cfrac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n}, eex$$ 且其中的等号当且仅当 $a_1=a_2=cdots=a_n$ 时成立.
[再寄小读者之数学篇](2014-05-29 有界闭区域上的有界函数的导函数一定有有界吗?)
(from F.L. Lan) 有界闭区域上的有界函数的导函数一定有有界吗?
[再寄小读者之数学篇](2014-05-29 单调函数的一个充分条件)
(from D.Y. Peng) 设 $f$ 为区间 $I$ 上的可微函数, 满足微分方程 $$ex f'(x)=g(f(x)),quad xin I, eex$$ 其中 $g$ 是在 $f$ 的值域上有定义的连续函数. 证明: $f$ 一定是单调函数.
[再寄小读者之数学篇](2014-05-28 Ladyzhenskaya 不等式)
$$ex fin C_c^infty(bR^2) a sen{f}_{L^4}leq sqrt{2} sen{f}_{L^2}^{1/2} sen{p_1f}_{L^2}^{1/4} sen{p_2f}_{L^2}^{1/4}, eex$$ $$ex fin C_c^infty(bR^3) a sen{f}_{L^4}leq 2^{3/4} sen{f}_{L^2}^{1/4} sen{p_1f}_{L^2}^{1/4} sen{p_2f}_{L^2}^{1/4} sen{p_3f}_{L^2}^{1/4}. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-05-27 无穷乘积的计算)
(from yqs210)
$$(1+frac{1}{1*2}) (1+frac{1}{2*3}) (1+frac{1}{3*4}).......(1+frac{1}{n*(n+1)}) =? $$
$$(1+frac{1}{1^2} )(1+frac{1}{2^2} )(1+frac{1}{3^2} )......(1+frac{1}{n^2} )=?$$
$$(1+frac{1}{2^1} )(1+frac{1}{2^2} )(1+frac{1}{2^3} )......(1+frac{1}{2^n} )=?$$
或者
$$(1+p_1)(1+p_2)(1+p_3)......(1+p_n)=?$$
其中 $lim_{ n o infty} frac{ln (1+p_n)}{p_n}=1$.
说明： $(1+p_1)(1+p_2)(1+p_3)......(1+p_n)$的收敛性与 $sum_{k=1}^n p_k$相同, 但是和不同.
其中两边取对数的方法, 并使用 $lim_{ n o infty} frac{ln (1+p_n)}{p_n}=1$, 可知三数列积是收敛的.
[再寄小读者之数学篇](2014-05-27 矩阵的迹与 Jacobian)
(from MathFlow) 设 $A=(a_{ij})$, 且定义 $$ex _A f(A)=sex{cfrac{p f}{p a_{ij}}}. eex$$ 试证: (1) $ _A r (AB)=B^t$; (2) $ _A r(ABA^tC)=CAB+C^tAB^t$.
[再寄小读者之数学篇](2014-05-27 偏导数的计算)
已知 $$ex u(x,t)=cfrac{1}{2}int_0^1 d eta int_{x-t+eta}^{x+t-eta}f(xi,eta) d xi, eex$$ 且 $f(xi,eta)$, $f_xi(xi,eta)$ 连续. 试求 $cfrac{p ^2u}{p t^2}-cfrac{p ^2u}{p x^2}$.
试证: $dps{int_0^{kpi} cfrac{|sin x|}{x} d x> cfrac{2}{pi}lncfrac{k+1}{2}}$.
[再寄小读者之数学篇](2014-05-27 二阶矩阵的不等式)
(来自质数) 设$ A,B $ 都是实数域上的两个二阶方阵, 且 $AB=BA$. 证明：对于任意实数 $x,y,z$,有 $$ 4xzdet(xA^2+yAB+zB^2)geq (4xz-y^2)(xdet(A)-zdet(B))^2 $$
(来自 james2009) 设$Ain {M}_{n}left( mathbb{R} ight)$,${A}^{'}A$ 的全部特征值中: 最大值的设为${lambda }_{max}$, 最小值的设为 ${lambda }_{min}$. 问下述结论是否成立: $A$ 属于 $mathbb{C}$ 的任意特征值 $xi$ 有： $$ex sqrt{lm_{min}}leq |xi|leq sqrt{lm_{max}}. eex$$
(来自 succeme) $A$是给定的方阵，特征值已知，其他小写字母为复数，用$A$的特征值表出下列行列式的值： [ egin{pmatrix} b_0E & b_1A &b_2A^2 &cdots &b_{n-1}A^{n-1} \ ab_{n-1}A^{n-1} &b_0E & b_1A &cdots & b_{n-2}A^{n-2} \ ab_{n-2}A^{n-2} & ab_{n-1}A^{n-1} & b_0E & cdots & b_{n-3}A^{n-3} \ cdots &cdots &cdots &cdots & cdots \ ab_1A & ab_2A^2 & ab_3A^3 &cdots &b_0E end{pmatrix} ]
[再寄小读者之数学篇](2014-05-25 矩阵的交换子)
(来自质数) 设 $ mathbf V=Bbb F_{n imes n}$ 是域 $Bbb F$ 上所有 $n$ 阶矩阵组成的向量空间 (这里$Bbb F=Bbb R$ 或者 $ Bbb C$). 证明所有形如 $MN-NM$ 的矩阵形成一个线性空间.
[再寄小读者之数学篇](2014-05-25 非线性递归数列的敛散性)
数列$egin{Bmatrix} {x}_{n} end{Bmatrix}$满足如下定义: $$a>0,quad b>0; qquad {x}_{1}=a,quad{x}_{2}=b ;qquad {x}_{n+2}=2+cfrac{1}{{x}_{n+1}^{2}}+cfrac{1}{{x}_{n}^{2}},qquad ngeq 1.$$ 讨论该数列 $egin{Bmatrix} {x}_{n} end{Bmatrix}$ 的敛散性.
[再寄小读者之数学篇](2014-05-23 递增函数的右极限)
设 $f(x)$ 是定义在 $[a,b]$ 上的增函数. 再设 $x_0in [a,b)$, 而点列 $sed{x_n}$ 满足: $x_n>x_0$, $dps{vlm{n}x_n=x_0}$. 求证: $dps{vlm{n}f(x_n)}$ 存在.
[再寄小读者之数学篇](2014-05-23 lnx−ax=0 有两个根时的估计)
已知函数 $f(x)=ln x-ax$, 其中 $a$ 为常数. 如果 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$. 试证: $x_1x_2>e^2$.
[再寄小读者之数学篇](2014-05-20 一个分部积分)
$$exint lap f|f|^{q-2}f d x=-cfrac{4(q-1)}{q^2} int| |f|^{frac{q}{2}} |^2 d x. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-05-18 从正定矩阵构造正定矩阵)
设 ${f A}$ 为 $n$ 阶正定矩阵, ${f x}$, ${f y}$ 为 $n$ 维列向量且满足 ${f x}^t{f y}>0$. 证明矩阵 $$ex {f M}={f A}+cfrac{{f x}{f x}^t}{{f x}^t{f y}} -cfrac{{f A}{f y}{f y}^t{f A}}{{f y}^t{f A}{f y}} eex$$ 正定.
[再寄小读者之数学篇](2014-05-12 曲线的弧长计算)
试求曲线 $6xy=3+x^4$ 在 $x=1$, $x=2$ 之间的弧段的长度.
[再寄小读者之数学篇](2014-04-23 行列式的导数)
设 $A(t)=(a_{ij}(t))$ 中每个 $a_{ij}(t)$ 都是可导的, 则 $$ex cfrac{ d}{ d t}|A(t)|=|A| r sez{A^{-1}cfrac{ d A}{ d t}}. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-04-22 平方差公式在矩阵中的表达)
设 $A,B$ 都是 $n$ 阶复方阵, 且 $A^2+B^2=2AB$. 证明:
(1) $AB-BA$ 不可逆;
(2) 如果 $ ank(A-B)=1$, 那么 $AB=BA$.
[再寄小读者之数学篇](2014-04-20 [苏州大学数学专业考研复试试题] 解析函数有特定表达式的一个充分条件)
设 $f$ 在 $D=sed{zinbC; |z|leq 1}$ 上除点 $z_0in D$ 外处处解析, 且满足
(1) 在 $D$ 内 $f$ 没有零点;
(2) $zin p D a f(z)in p D$;
(3) $z_0$ 是 $f$ 的一阶极点.
证明: $$ex exists tin bR,st f(z)=e^{i t}cfrac{1-ar z_0z}{z-z_0}. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-04-20 [浙江大学 2014 年高等代数考研试题] 相似于对角阵的一个充分条件)
设 ${f X},{f Y}$ 分别为 $m imes n$ 与 $n imes m$ 阵, 且 $$ex {f Y}{f X}={f E}_n,quad {f A}={f E}_m+{f X}{f Y}. eex$$ 证明: ${f A}$ 相似于对角阵.
[再寄小读者之数学篇](2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]反对称矩阵的组合)
设 ${f A},{f B}$ 都是反对称矩阵, 且 ${f A}$ 可逆, 则 $|{f A}^2-{f B}|>0$.
[再寄小读者之数学篇](2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]特征多项式的互素分解)
设 $f(x)$ 为 ${f A}$ 的特征多项式, 且存在互素的次数分别为 $p,q$ 的多项式 $g(x),h(x)$ 使得 $f(x)=g(x)h(x)$. 求证: $$ex ank g({f A})=q,quad ank h({f A})=p. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]可交换的线性变换)
设 $sigma, au$ 为线性变换, 且 $sigma$ 有 $n$ 个不同的特征值. 证明: 若 $sigma au= ausigma$, 则 $ au$ 可由 $I$, $sigma$, $sigma^2$, $cdots$, $sigma^{n-1}$ 线性表出, 其中 $I$ 为恒等变换.
[再寄小读者之数学篇](2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]二次型的零点)
设 ${f A}$ 为实对称矩阵, 存在线性无关的向量 ${f x}_1,{f x}_2$, 使得 ${f x}_1^T{f A}{f x}_1>0$, ${f x}_2^T{f A}{f x}_2<0$. 证明: 存在线性无关的向量 ${f x}_3,{f x}_4$ 使得 ${f x}_1,{f x}_2,{f x}_3,{f x}_4$ 线性相关, 且 ${f x}_3^T{f A}bx_3={f x}_4^T{f A}{f x}_4=0$.
[再寄小读者之数学篇] (2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]一个秩等式)
设 ${f A}$ 为 $s imes n$ 矩阵. 证明: $$ex s- ank({f E}_s-{f A}{f A}^T)=n- ank({f E}_n-{f A}^T{f A}). eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]行列式的计算)
设 $n$ 阶行列式 $sev{a{cccc} a_{11}&cdots&a_{1n}\ vdots&ddots&vdots\ a_{n1}&cdots&a_{nn} ea}=1,$ 且满足 $a_{ij}=-a_{ji}, i,j=1,2,cdots,n$. 对任意的 $x$, 求 $n$ 阶行列式 $sev{a{cccc} a_{11}+x&cdots&a_{1n}+x\ vdots&ddots&vdots\ a_{n1}+x&cdots&a_{nn}+x ea}.$
[再寄小读者之数学篇](2014-04-08 from 1297503521@qq.com sinx−xcosx=0 的根的估计)
设方程 $sin x-xcos x=0$ 在 $(0,+infty)$ 中的第 $n$ 个解为 $x_n$. 证明: $$ex npi+cfrac{pi}{2}-cfrac{1}{npi} <x_n<npi+cfrac{pi}{2}. eex$$
[再寄小读者之数学篇](2014-04-01 from 2103471050@qq.com 曲线积分)
求 $int_vGa y^2 d s$, 其中 $vGa$ 由 $dps{sedd{a{rl} x^2+y^2+z^2&=a^2\ x+z&=a ea}}$ 决定.