1. 设 $f,g$ 是某数域上的多项式, $m(x)$ 是它们的首一最小公倍式, 而 $scrA$ 为该数域上某线性空间 $V$ 的一个线性变换. 试证: $$ex ker f(scrA)+ker g(scrA)=ker m(scrA). eex$$
证明: 先证: $ker f(sigma)+ker g(sigma)subsetker m(sigma).$ 由 $f|m$, $g|m$ 知 $ker f(sigma)subset ker m(sigma)$, $ker g(sigma)subset ker m(sigma)$, 而 $ker f(sigma)+ker g(sigma)subsetker m(sigma).$ 再证: $ker f(sigma)+ker g(sigma)supsetker m(sigma).$ 设 $$ex m(x)=p(x)f(x)=q(x)g(x). eex$$ 则 (否则, $dps{frac{m(x)}{(p(x),q(x))}}$ 是比 $m(x)$ 次数更低的、$f$ 与 $g$ 的公倍式) $$ex (p(x),q(x))=1. eex$$ 而 $$ex exists u(x),v(x),st u(x)p(x)+v(x)q(x)=1. eex$$ 对 $forall alphain ker m(sigma)$, $$ex alpha=u(sigma)p(sigma)alpha+v(sigma)q(sigma)alpha, eex$$ 其中 $$ex f(sigma)u(sigma)p(sigma)alpha=u(sigma)m(sigma)alpha=0 a u(sigma)p(sigma)alphain ker f(sigma), eex$$ $$ex g(sigma)v(sigma)q(sigma)alpha =v(sigma)m(sigma)alpha=0 a v(sigma)q(sigma)alphain ker g(sigma). eex$$
2. 设 $A$ 为元素都是整数的 $n$ 级方阵. 证明: 若整数 $k$ 是 $A$ 的一个特征值, 则 $k$ 是 $|A|$ ($A$ 的行列式) 的一个因子.
证明: 由题意, $$eex ea |lambda E-A|&=lambda^n+cdots+(-1)^n|A|\ &=(lambda-k)(lambda^{n-1}+a_1lambda^{n-2}+cdots+a_{n-1}). eea eeex$$ 比较两端 $lambda^{n-j} (1leq jleq n$ 的次数$)$, 我们发现 $$eelabel{180.3.2.1} ea - r A&=a_1-k,\ (-1)^jcdot Ambox{ 的所有 }j mbox{ 级主子式之和}&=a_j-ka_{j-1},quad 2leq jleq n-1;\ (-1)^n|A|&=-ka_{n-1}. eea eee$$ 由 $eqref{180.3.2.1}_{1,2}$ 知 $a_{n-1}$ 是整数; 再由 $eqref{180.3.2.1}_2$ 知 $k$ 为 $|A|$ 的一个因子.
3. 设 $A$, $B$ 均为实对称矩阵, $A$ 正定. 试证: $B$ 正定当且仅当 $AB$ 的特征值全大于零.
证明: 由 $A$ 正定知存在可逆阵 $C$, 使得 $$ex A=CC^T a AB=C(C^TBC)C^{-1}. eex$$ 这说明 $AB$, $C^TBC$ 相似, 而有相同的特征值. 于是 $$eex ea Bmbox{ 正定}&lra C^TBCmbox{ 正定}\ &lra C^TBCmbox{ 的特征值全大于零}\ &lra ABmbox{ 的特征值全大于零}. eea eeex$$
4. 设 $f$ 是 $bC^{n imes n}$ 到 $bC$ 的线性映射, 满足 $f(E)=n$, 且对任意的矩阵 $A,Bin bC^{n imes n}$, 有 $f(AB)=f(BA)$. 试证: $f= r$.
证明: 设 $E_{ij}$ 为 $(i,j)$ 元为 $1$, 其余元为 $0$ 的矩阵, 则 (1) 对 $1leq i,jleq n$, $$ex f(E_{ii})=f(E_{ij}E_{ji}) =f(E_{ji}E_{ij})=f(E_{jj}), eex$$ $$ex n=f(E)=fsex{sum_{i=1}^n E_{ii}} =nf(E_{ii}) a f(E_{ii})=1; eex$$ (2) 对 $1leq i eq jleq n$, $$ex f(E_{ij})=f(E_{ij}E_{jj})=f(E_{jj}E_{ij})=f(0)=0. eex$$ 因此, 对 $Ain bC^{n imes n}$, $$ex f(A)=fsex{sum_{i,j=1}^n a_{ij}E_{ij}} =sum_{i=1}^n a_{ii}= r A. eex$$
5. 设 $A$ 为对称矩阵, 存在线性无关的向量 $x_1,x_2$, 使得 $x_1^TAx_1>0$, $x_2^TAx_2<0$. 证明: 存在线性无关的向量 $x_3,x_4$ 使得 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 线性相关, 且 $x_3^TAx_3=x_4^TAx_4=0$.
证明: 设 $f(x,y)=x^TAy$, 则由题意, $$eelabel{ercixing_1} f(x_1,x_1)>0,quad f(x_2,x_2)<0. eee$$考虑二次方程 $$eelabel{ercixing_2} t^2f(x_1,x_1)+2t f(x_1,x_2)+f(x_2,x_2)=0, eee$$由 eqref{ercixing_1} 知其判别式 $$ex lap=4f^2(x_1,x_2)-4f(x_1,x_1)f(x_2,x_2)>0, eex$$ 而有两个不同的根 $t_1,t_2$ ($t_1 eq t_2$). 选取 $$ex x_3=t_1x_1+x_2,quad x_4=t_2x_1+x_2, eex$$ 则由 eqref{ercixing_2} 知 $$ex f(x_3,x_3)=f(x_4,x_4)=0, eex$$ 且易知 $x_3,x_4$ 线性无关, 但 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 线性相关.
6. 设 $f(x)$ 为 $A$ 的特征多项式, 且存在互素的次数分别为 $p,q$ 的多项式 $g(x),h(x)$ 使得 $f(x)=g(x)h(x)$. 求证: $$ex ank g(A)=q,quad ank h(A)=p. eex$$
证明: 设 $$ex g(x)=prod_{i=1}^s (lm-lm_i)^{m_i},quad h(x)=bprod_{j=1}^t (lm-mu_j)^{n_j}, eex$$ 则 $$ex sum_{i=1}^s m_i=p,quad sum_{j=1}^tn_j=q. eex$$ 由 $(g,h)=1$ 知 $lm_i eq mu_j$. 又 $$ex f(x)=g(x)h(x)=abcdot prod_{i=1}^s (lm-lm_i)^{m_i}cdotprod_{j=1}^t (lm-mu_j)^{n_j} eex$$ 为 $A$ 的特征多项式, 而有直和分解 $$ex V=oplus_{i=1}^s V_ioplus oplus_{j=1}^t W_j, eex$$ 其中 $$ex V_i=sed{xin V;(A-lm_iE)^{m_i}x=0},quad W_j =sed{xin V;(A-mu_jE)^{n_j}x=0}, eex$$ 且 $dim V_i=m_i$, $dim W_j=n_j$ (可用 Jordan 标准型直接证明, 自己思考下). 为证题目, 仅须证明 $$ex oplus_{i=1}^s V_i=sed{h(A)x=0;xin V},quad oplus_{j=1}^t W_j=sed{g(A)x=0;xin V}, eex$$ 即知 $$ex ank h(A)=sum_{i=1}^s m_i=p,quad ank g(A)=sum_{j=1}^t n_j=q. eex$$ 不失一般性, 仅需证明 $$ex oplus_{i=1}^s V_i=sed{h(A)x;xin V}equiv U eex$$ 如下: $$eex ea xin V_i& a (A-lm_iE)^{m_i}x=0\ & a g(A)x=0\ & a x=u(A)g(A)x+v(A)h(A)x=v(A)h(A)x =h(A)v(A)xin U\ &quadsex{exists u,v,st uf+vg=1};\ xin U& a x=h(A)y\ & a x=h(A)(v_1+cdots+v_s+w_1+cdots+w_s)\ &quadquad\,=h(A)v_1+cdots+h(A)v_sin oplus_{i=1}^s V_iquadsex{v_iin V_i a h(A)v_iin V_i}. eea eeex$$
7. 设 $A,B$ 都是 $n$ 阶复方阵, 且 $A^2+B^2=2AB$. 证明:
(1) $AB-BA$ 不可逆;
(2) 如果 $ ank(A-B)=1$, 那么 $AB=BA$.
证明: (1) $$ex (A-B)^2=AB-BA=(A-B)B-B(A-B). eex$$ 若 $AB-BA$ 可逆, 则 $(A-B)^2$ 可逆, $A-B$ 可逆. 对上式左乘 $(A-B)^{-1}$, 右乘 $(A-B)^{-1}$ 得 $$ex E=B(A-B)^{-1}-(A-B)^{-1}B. eex$$ 取迹得 $n=0$. 这是一个矛盾. 故有结论. (2) 若 $ ank(A-B)=1$, 则 $$ex exists al eq 0, eta eq 0,st A=aleta^T. eex$$ 而 $$ex (A-B)^2=aleta^Taleta^T=(eta^Tal)aleta^T. eex$$ 取迹而有 $$ex 0= r(AB-BA)= r(A-B)^2=(eta^Tal)^2 a 0=eta^Tal, eex$$ $$ex AB-BA=(A-B)^2=(eta^Tal)aleta^T=0 cdot aleta^T=0. eex$$
8. 设 $X,Y$ 分别为 $m imes n$ 与 $n imes m$ 阵, 且 $$ex YX=E_n,quad A=E_m+XY. eex$$ 证明: $A$ 相似于对角阵.
证明: 由 $YX=E_n$ 知 $$ex n= ank(YX)leq minsed{ ank(Y), ank(X)}leq minsed{m,n}leq n. eex$$ 于是 $$ex ank(Y)= ank(X)=nleq m. eex$$ 设 $X=(x_1,x_2,cdots,x_n)$, 而 $Yx=0$ 的基础解系为 $x_{n+1},cdots,x_m$ (由 $ ank(Y)=n$), 则 (1) 断言: $x_1,cdots,x_n,x_{n+1},cdots,x_m$ 线性无关. 事实上, $$eex ea &quad l_1x_1+cdots+l_nx_n+l_{n+1}x_{n+1}+cdots+l_mx_m=0\ & a l_1e_1+cdots+l_ne_n=0quadsex{mbox{用 }Ymbox{ 作用后利用 }YX=E_n}\ & a l_1=cdots=l_n=0\ & a l_{n+1}x_{n+1}+cdots+l_mx_m=0\ & a l_{n+1}=cdots=l_m=0. eea eeex$$ (2) 由 $$eex ea A(x_1,cdots,x_m) &=(x_1,cdots,x_m) +X(e_1,cdots,e_n,0,cdots,0)\ &=(x_1,cdots,x_m) +(x_1,cdots,x_n,0,cdots,0)\ &=(2x_1,cdots,2x_n,x_{n+1},cdots,x_m)\ &=(x_1,cdots,x_m)sex{a{cc} 2E_n&\ &E_{m-n} ea} eea eeex$$ 知 $$ex P^{-1}AP=sex{a{cc} 2E_n&\ &E_{m-n} ea},P=(x_1,cdots,x_n). eex$$
9. 设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵, $x$, $y$ 为 $n$ 维列向量且满足 $x^Ty>0$. 证明矩阵 $$ex M=A+cfrac{xx^T}{x^Ty} -cfrac{Ayy^TA}{y^TAy} eex$$ 正定.
证明: 易知 $M$ 对称. 对 $forall z eq 0$, $$eex ea z^TMz&=z^TAz+frac{(z^Tx)^2}{x^Ty}-frac{(z^TAy)^2}{y^TAy}\ &=frac{(x^Ty)(z^TAz)(y^TAy)+(z^Tx)^2(y^TAy)-(z^TAy)^2(x^Ty)}{(x^Ty)(y^TAy)}\ &=frac{(x^Ty)sez{(z^TAz)(y^TAy)-(z^TAy)^2}+(z^Tx)^2(y^TAy)}{(x^Ty)(y^TAy)}. eea eeex$$ (1) 若 $y,z$ 线性无关, 则由 Cauchy-Schwarz 不等式, $$ex (z^TAz)(y^TAy)-(z^TAy)^2>0. eex$$ (2) 若 $y,z$ 线性相关: $z=ky$, 则 $$ex (z^TAz)(y^TAy)-(z^TAy)^2=0, eex$$ 但 $$ex (z^Tx)^2=k^2(y^Tx)^2>0. eex$$ 不管怎样, 我们都得到 $$ex z^TMz>0,quad forall z eq 0. eex$$ 这说明 $M$ 正定.