1($4 imes 6'=24'$) 解答下列各题.
(1)求极限 $dps{ls{n}sez{1+sinpisqrt{1+4n^2}}^n}$.
(2)证明广义积分 $dps{int_0^inftyfrac{sin x}{x} d x}$ 不是绝对收敛的.
(3)设函数 $y=y(x)$ 由 $x^3+3x^2y-2y^3=2$ 所确定, 求 $y(x)$ 的极值.
(4)过函数 $y=sqrt[3]{x} (xgeq 0)$ 上的点 $A$ 作切线, 使该切线与曲线及 $x$ 轴所围成的平面图形的面积为 $dps{frac{3}{4}}$, 求点 $A$ 的坐标.
2($12'$) 计算定积分 $dps{int_{-pi}^pi frac{xsin x arctan e^x}{1+cos^2x} d x}$.
3($12'$) 设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处存在二阶导数, 且 $dps{lim_{x o 0}frac{f(x)}{x}=0}$. 证明: 级数 $dps{sum_{n=1}^infty sev{fsex{frac{1}{n}}}}$ 收敛.
4($10'$) 设 $[a,b]$ 上的可微函数 $f$ 满足 $$ex f(x)in [0,pi];quad f'(x)geq m>0,quadforall aleq xleq b. eex$$ 试证: $$ex sev{int_a^b sin f(x) d x}leqfrac{2}{m}. eex$$
5($14'$) 设 $vSa$ 是一个光滑封闭曲面, 方向朝外, 给定第二型曲面积分 $$ex I=iint_vSa (x^3-x) d y d z+(2y^3-y) d z d x +(3z^3-z) d x d y. eex$$ 试确定曲面 $vSa$, 使得积分 $I$ 的值达到最小, 并求该最小值.
6($14'$) 设 $dps{I_alpha(r)=oint_Cfrac{y d x-x d y}{(x^2+y^2)^alpha}}$, 其中 $alpha$ 为常数, 曲线 $C$ 为椭圆 $x^2+xy+y^2=r^2$, 取正向. 求极限 $$ex lim_{r o +infty}I_alpha(r). eex$$
7($14'$) 判断级数 $dps{sum_{n=1}^infty frac{ 1+frac{1}{2}+cdots+frac{1}{n}} {(n+1)(n+2)}}$ 的敛散性, 若收敛, 求其和.