设 $f:(-infty,+infty) o [0,infty)$ 是双射, 证明: $f$ 有无穷多个间断点.
证明: 用反证法. 若 $f$ 仅有有穷多个间断点 $x_1<x_2<cdots<x_n$. 则 $f$ 在 $(x_{i-1},x_i) (i=1,cdots,n+1, x_0=-infty, x_{n+1}=+infty)$ 上连续单射. 由此不难推出 $f$ 在 $(x_{i-1},x_i)$ 上严格单调footnote{否则, $exists t_1<t_2<t_3,st f(t_1)leq f(t_2)geq f(t_3)$ 或 $f(t_1)geq f(t_2)leq f(t_3)$.}. 于是 $f(x_{i-1},x_i)=(m_i,M_i)$ 为某个区间 ($m_i=inf_{(x_{i-1},x_i)}f, M_i=sup_{(x_{i-1},x_i)}f.$). 又由 $f$ 在各 $(x_{i-1},x_i)$ 上的连续性及单射知各 $(m_i,M_i) (i=1,cdots,n+1)$ 互不相交. 注意到 $$ex [0,infty)s igcup_{i=1}^n (m_i,M_i) eex$$ 至少包含 $n+1$ 个互异的点 ($m_i$ 从小到大排序后, 不妨设 $m_1<m_2<cdots<m_{n+1}$, 则 $sed{0},[M_1,m_2],cdots,[M_n,m_{n+1}]$ 各至少含一点.) $$ex y_0<y_1<cdots<y_n. eex$$ 由 $f$ 是单射知这些 $sed{y_i}$ 仅能在 $x_j, j=1,cdots,n$ 处取得. 于是 $$ex sed{y_0,y_1,cdots,y_n}subset sed{f(x_1),cdots,f(x_n)} a n+1leq n. eex$$ 这是一个矛盾. 故有结论.