1. 证明 $(10'$).
证明: $ a$: 由 $p_K(x)<1$ 知 $$ex exists 0<a<1,st cfrac{x}{a}in K. eex$$ 既然 $0$ 是 $K$ 的内点, $$ex forall y, exists ve=ve(y)>0,st |t|<cfrac{ve}{1-a} a tyin K. eex$$ 于是由 $K$ 的凸性, $$ex |t|<ve a x+ty =acdot cfrac{x}{a} +(1-a)cdotsex{cfrac{t}{1-a}y}in K. eex$$ $ a$: 设 $x$ 为 $K$ 的内点. 若 $x=0$, 则 $p_K(x)=0$. 若 $x eq 0$, 则 $$ex exists ve=ve(x)>0,st |t|<ve a x+txin K. eex$$ 特别地, $$ex cfrac{x}{cfrac{1}{1+cfrac{ve}{2}}}=x+cfrac{ve}{2}xin K. eex$$ 于是 $$ex p_K(x)leq cfrac{1}{1+cfrac{ve}{2}}<1. eex$$
2. 证明定理 4.
证明: (ii) 的证明与 (i) 类似, 而只证 (i). 设 $K=sed{xin X; p(x)<1}$, 则对 $forall x,yin K$, $0<a<1$, $$eex ea p(ax+(1-a)y)&leq p(ax)+p((1-a)y)\ &=ap(x)+(1-a)p(y)\ &<a+(1-a)\ &=a;\ ax+(1-a)y&in K. eea eeex$$ 另外, $0in K$, 且对 $forall y eq 0$, 只要 $$ex |t|<minsed{cfrac{1}{|p(y)|+1},cfrac{1}{|p(-y)|+1}}, eex$$ 就有 $$eex ea t>0& a p(ty)=tcdot p(y)<cfrac{p(y)}{|p(y)|+1}<1,\ t<0& a p(ty)=-tcdot p(-y)<cfrac{p(-y)}{|p(-y)|+1}<1. eea eeex$$
3. 证明: 若条件 (17) 改为 $p({f A} x)leq p(x)$, 定理 7 仍成立.
证明: 检查定理 7 的证明即知结论成立.
错误指出:
Page 19, 定理 5 第 2 行, 数域应该去掉.