1. (a) 证明 (6) 定义了范数.
(b) 证明它们在 (5) 式意义下是等价的.
证明: $$ex |(z,u)|'leq |(z,u)|leq 2|(z,u)|',quad |(z,u)|''leq |(z,u)|leq sqrt{2}|(z,u)|''. eex$$
2. 证明定理 2.
证明: 对 $y_1,y_2in ar Y$, $$ex exists Y i y_{1n} o y_1,quad Y i y_{2n} o y_2, eex$$ 而 $$ex Y i ky_{1n}+y_{2n} o ky_1+y_2. eex$$ 于是 $ky_1+y_2in ar Y$.
3. 证明: 若 $X$ 是一个 Banach 空间, $Y$ 是 $X$ 的闭子空间, 则商空间 $X/Y$ 是完备的.
证明: 设 $[x_n]$ 是 $X/Y$ 中的 Cauchy 列, 则 $$ex forall ve>0, exists N, m>ngeq N a |[x_m-x_n]| =|[x_m-x_n]|<ve. eex$$ 按照 $[x]$ 的范数定义, $$ex exists q_m,q_n,st q_m-x_min Y, q_n-x_nin Y,st |q_m-q_n|<2ve. eex$$ 由 $X$ 完备, $$ex exists q,st q_n o qquadsex{n oinfty}. eex$$ 而 $$eex ea |[x_n]-[q]|&=|[q_n]-[q]|\ &=|[q_n-q]|\ &leq |q_n-q|\ & o 0quadsex{n oinfty}. eea eeex$$
4. 证明赋范线性空间的每个有限维子空间都是闭的.
证明: 设 $X$ 是赋范线性空间, $Y=spansed{e_1,cdots,e_n}$ 为其 $n$ 维线性子空间. 往证 $$eelabel{5_4_equiv} c_1sex{sum_{k=1}^n y_k^2}^frac{1}{2} leq sen{y}leq c_2sex{sum_{k=1}^n y_k^2}^frac{1}{2}. eee$$事实上, $$eelabel{5_4_continu} ea sen{y} &=sen{sum_{k=1}^n y_ke_k}\ &leq sum_{k=1}^n |y_k|cdot sen{e_k}\ &leq sex{sum_{k=1}^n y_k^2}^frac{1}{2} cdot sex{sum_{k=1}^n sen{e_k}^2}^frac{1}{2}. eea eee$$反过来, 考虑 $$ex f(y)=sen{y},quad yin S=sed{yin Y; sum_{k=1}^n y_k^2=1}. eex$$ 则由 eqref{5_4_continu} 知 $f$ 在紧集 $S$ 上连续, 是能取到下确界 $m$ 的. 该 $m>0$ (否则 $exists yin S,st sen{y}=0$). 故 $$ex f(y)geq m,quad sum_{k=1}^ny_k^2=1, eex$$ $$ex f(y)geq msex{sum_{k=1}^n y_k^2}^frac{1}{2},quad forall yin Y. eex$$ 既然有了 eqref{5_4_equiv}, $sex{Y,sen{cdot}}$ 与 $bR^n$ 拓扑同构, 也是完备的, 而为 $X$ 的闭子空间.
5. 证明例 (a)、例 (c)、例 (d) 和例 (e) 中的上确界范数不是严格次可加的.
证明: 以 (a) 为例, 取 $$ex x=(1,0,cdots),quad y=(1,1,cdots), eex$$ 则 $$ex sen{x+y}=2=sen{x}+sen{y}, eex$$ 但 $x,y$ 线性无关.
6. 证明例 (b) 和 例 (f) 中的范数当 $p=1$ 时不是严格次可加的.
证明: 以 (b) 为例, 取 $$ex x=(1,0,cdots),quad y=(0,1,cdots), eex$$ $$ex sen{x+y}=2=sen{x}+sen{y}, eex$$ 但 $x,y$ 线性无关.
7. 由 (41) 推出 ${f M}$ 是线性的.
证明: $$eelabel{5_7_linear} ea 2z'=x'+y' a 2{f M}cfrac{x+y}{2}={f M} x+{f M} y. eea eee$$取 $y=0$ 有 $$eelabel{5_7_two} 2{f M} cfrac{x}{2}={f M} x. eee$$往用数学归纳法证明 $$ex {f M} (kx)=k{f M} x,quad (k=1,2,cdots). eex$$ 事实上, $$eex ea {f M} (kx)&={f M} (x+(k-1)x)\ &=cfrac{1}{2}{f M} (2x)+cfrac{1}{2}{f M} (2(k-1)x)quadsex{eqref{5_7_linear}}\ &={f M} x+{f M}((k-1)x)quadsex{eqref{5_7_two}}\ &={f M} x+(k-1){f M} xquadsex{mbox{归纳假设}}\ &=k{f M} x. eea eeex$$ 在 eqref{5_7_linear} 中取 $y=-x$, 则 $$ex {f M}(-x)=-{f M} x, eex$$ 而有 $$eex ea {f M}(kx)&={f M}((-k)(-x))\ &=(-k){f M}(-x)\ &=(-k)(-{f M} x)\ &=k{f M} xquadsex{k=-1,-2,cdots}. eea eeex$$ 再由 $$ex {f M} x={f M} sex{mcdot cfrac{1}{m}x} =mcdot {f M} sex{cfrac{1}{m}x} eex$$ 知 $$ex {f M} sex{cfrac{1}{m}x}=cfrac{1}{m}{f M} x,quad min bZs sed{0}; eex$$ $$ex {f M} sex{cfrac{k}{m}x} =k{f M} sex{cfrac{1}{m}x} =cfrac{k}{m}{f M} x,quad kinbZ, minbZs sed{0}. eex$$ 由 ${f M}$ 是等距知 ${f M}$ 连续, 而有 $$ex {f M} (al x)=al cdot {f M} x,quad forall al. eex$$ 最后, 由 eqref{5_7_linear} 及 eqref{5_7_two}, $$ex {f M}(x+y)=cfrac{1}{2}{f M}(2x)+cfrac{1}{2}{f M}(2y)={f M} x+{f M} y. eex$$
8. 证明 $X$ 是完备的.
证明: 仅须证明 $X$ 是闭的. 设 $$ex X i x^k o x, eex$$ 则 $$ex max_n |a^k_n-a_n| o 0quadsex{k oinfty}. eex$$ 而 $$ex forall ve>0, exists k,st sup_n |a^k_n-a_n|<cfrac{ve}{2}. eex$$ 对该 $k$, 由 $dps{vlm{n}a^k_n=0}$ 知 $$ex exists N, ngeq N a |a_n^k|<cfrac{ve}{2}. eex$$ 故 $$ex ngeq N a |a_n|leq |a_n-a^k_n|+|a^k_n|<ve. eex$$ 这说明 $dps{vlm{n}a_n=0}$, 而 $xin X$.
错误指出:
Page 33, (23) 应为 $mp<n$. Page 34-35, 所有黑体字母应改为其相应的普通字母 (该书以后碰到均使适用此条例).
Page 35, 习题 6, 上确界三字应去掉.