积分第一中值定理. 若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续, 则 $$ex exists xiin (a,b),st int_a^b f(x) d x=f(xi)(b-a). eex$$ 推广的积分第一中值定理. 若 $f,g$ 都在 $[a,b]$ 上连续, 且 $g$ 在 $[a,b]$ 上不变号, 则 $$ex exists xiin [a,b],st int_a^b f(x)g(x) d x =f(xi)int_a^b g(x) d x. eex$$ 积分第二中值定理. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积.
(1). 若函数 $g$ 在 $[a,b]$ 上减, 且 $g(x)geq 0$, 则 $$ex exists xiin [a,b],st int_a^b f(x)g(x) d x =g(a)int_a^xi f(x) d x. eex$$ (2). 若函数 $g$ 在 $[a,b]$ 上增, 且 $g(x)geq 0$, 则 $$ex exists etain [a,b],st int_a^b f(x)g(x) d x =g(b)int_eta^b f(x) d x. eex$$ (3). 若函数 $g$ 为单调函数, 则 $$ex exists xiin [a,b],st int_a^b f(x)g(x) d x =g(a)int_a^xi f(x) d x +g(b)int_xi^b f(x) d x. eex$$