1. 求极限 $$ex vlm{n}dfrac{(n^2+1)(n^2+2)cdots(n^2+n)}{(n^2-1)(n^2-2)cdots(n^2-n)}. eex$$
2. 求 $$ex lim_{x o 0^+}sez{frac{1}{x^5}int_0^x e^{-t^2} d t +frac{1}{3}frac{1}{x^2}-frac{1}{x^4}}. eex$$
3. 设 $$ex I(r)=oint_L dfrac{y}{x^2+y^2} d x-dfrac{x}{x^2+y^2} d y, eex$$ 其中 $L$ 为 $x^2+xy+y^2=r^2$, 取正方向. 求 $dps{lim_{r o infty}I(r)}$.
4. 求 $$ex int_{e^{-2npi}}^0 sin ln dfrac{1}{x} d x. eex$$
5. 考察 Riemann 函数的连续性, 可微性及可积性.
6. $f$ 为定义在某区域 $DsubsetbR^n$ 上的一个函数, 有一阶连续偏导数, 且偏导数有界.
(1). 若 $D$ 为凸区域, 证明: $f$ 一致连续.
(2). 考察 $D$ 不是凸区域的情况.
7. 设 $sed{f_n}$ 是 $bR$ 上的函数列, 且对任意 $xinbR$, $sed{f_n(x)}$ 有界. 证明: 存在一个开区间 $(a,b)$, 使得 $sed{f_n(x)}$ 在该区间上一致有界.
8.
(1). 证明 $vGa(s)$ 在 $(0,infty)$ 内无穷次可微.
(2). 证明 $vGa(s)$, $ln vGa(s)$ 都是严格凸函数.
9. 设 $f$ 在 $bR$ 上二阶可微, $f,f',f''$ 均 $geq0$, 且存在 $c>0$ 使得 $f''(x)leq cf(x)$. 证明:
(1). $dps{lim_{x o -infty}f'(x)=0}$.
(2). 存在常数 $a$, 使得 $f'(x)leq af(x)$, 并求出 $a$.
10. 证明 Fejer 定理.
11. 设 $f$ 在 $[A,B]$ 上 Riemann 可积, $0<f<1$, 对于任意 $ve>0$, 构造一个函数 $g$ 使得
(1). $g$ 是一个阶梯函数, 取值为 $0$ 或 $1$.
(2). 对于 $forall [a,b]subset [A,B]$, $$ex sev{int_a^b [f(x)-g(x)] d x}<ve. eex$$
参考解答见家里蹲大学数学杂志.