1. ($20$ 分) 证明非线性积分方程 $$ex x(t)+lm int_a^b K(t,s,x(s)) d s=y(t),quad forall tin [a,b] eex$$ 在 $|lm|$ 足够小时有唯一连续解. 这里 $y(t)in C[a,b]$, $K:[a,b] imes [a,b] imesbR o bR$ 连续并且满足 $$ex |K(t,s,sigma_1)-K(t,s,sigma_2)|leq L|sigma_1-sigma_2|,quad forall t,sin[a,b]. eex$$
证明: 定义 $$ex a{rl} T:C[a,b]& o C[a,b]\ xi(t)&mapsto y(t)-lm int_a^b K(s,t,xi(s)) d s, ea eex$$ 则当 $$ex |lm|<frac{1}{2L(b-a)} eex$$ 时, $$eex ea sen{T(xi)-T(eta)} &=max_{aleq tleq b} |lm|cdot sev{int_a^b K(s,t,xi(s))-K(s,t,eta(s)) d s}\ &leq |lm|cdot Lint_a^b |xi(s)-eta(s)| d s\ &leq |lm|cdot L(b-a)sen{xi-eta}\ &leq frac{1}{2}sen{xi-eta}. eea eeex$$ 由压缩映像原理即知结论.
2. ($15$ 分) 设 $X,Y$ 是线性赋范空间, $T:X o Y$ 是线性算子, 则 $T$ 不是有界的当且仅当存在 $x_nin X$, $x_n o 0$ 使得 $sen{Tx_n} o infty$.
证明: $ a$: 设 $T$ 不是有界的, 则 $$ex forall ninbN, exists xi_nin X,st sen{T xi_n}geq nsen{xi_n}. eex$$ 令 $$ex x_n=frac{xi_n}{sqrt{n}sen{xi_n}}, eex$$ 则 $x_n o 0$, 但 $$ex sen{Tx_n}geq sqrt{n} a sen{Tx_n} o infty. eex$$ $la$: 用反证法. 若 $T$ 有界, 则 $$ex exists M>0,st xin X a sen{Tx}leq Msen{x}. eex$$ 又 $x_n o 0$, 而 $x_n$ 有界, $exists A>0,st ninbN a sen{x_n}leq A a sen{Tx_n}leq Msen{x_n}leq MA$. 这与 $sen{Tx_n} oinfty$ 矛盾. 故有结论.
3. ($15$ 分) 设 $X$ 是 Banach 空间, $A_n,Ain B(X)$, 则 $A_nx o Ax$, $forall xin X$ 当且仅当 $sen{A_n}$ 有界并且存在子集合 $G$ 使得 $span G=X$, 在 $G$ 上, $A_nx o Ax$.
证明: 这就是 Banach-Steinhaus 定理. $ a$: 这是共鸣定理. $la$: 对 $forall x_0in X$, 由 $span G=X$ 知 $$ex exists G i x_m o x_0. eex$$ 而 $$ex forall ve>0, exists m,st sen{x_m-x_0}<frac{ve}{2sex{sup_n sen{A_n}+sen{A}+1}}. eex$$ 又 $A_nx_m o A_n x_m (n oinfty)$, $$ex exists N=N(ve,m)=N(ve),st ngeq N a sen{A_nx_m-Ax_m}<frac{ve}{2}. eex$$ 于是当 $ngeq N$ 时, $$eex ea sen{A_nx_0-Ax_0}&leq sen{A_nx_0-A_nx_m} +sen{A_nx_m-Ax_m}+sen{Ax_m-Ax_0}\ &leq sex{sup_nsen{A_n}+sen{A}}sen{x_m-x_0} +sen{A_nx_m-Ax_m}\ &<ve. eea eeex$$
4. ($15$ 分) 对于内积空间 $H$ 中的规范正交集 $sed{e_1,cdots,e_n}$ 和 $H$ 中的 $x$, 证明函数 $$ex f(lm_1,cdots,lm_n)=sen{x-sum_{i=1}^n lm_ie_i} eex$$ 当且仅当 $lm_i=sef{x,e_i}$ ($i=1,cdots,n$) 时达到极小值.
证明: $$eex ea &quadsen{x-sum_{i=1}^n lm_ie_i}^2\ &=sen{sex{x-sum_{i=1}^n sef{x,e_i}e_i}-sum_{i=1}^n sex{lm_i-sef{x,e_i}}e_i}^2\ &=sen{x-sum_{i=1}^n sef{x,e_i}e_i}^2 -2Re sef{x-sum_{i=1}^n sef{x,e_i}e_i,sum_{i=1}^n sex{lm_i-sef{x,e_i}}e_i} +sum_{i=1}^n sev{lm_i-sef{x,e_i}}^2\ &=sen{x-sum_{i=1}^n sef{x,e_i}e_i}^2 -2sum_{i=1}^nResez{overline{lm_i-sef{x,e_i}} sef{x-sum_{i=1}^n sef{x,e_i}e_i,e_i}} +sum_{i=1}^n sev{lm_i-sef{x,e_i}}^2\ &=sen{x-sum_{i=1}^n sef{x,e_i}e_i}^2 +sum_{i=1}^n sev{lm_i-sef{x,e_i}}^2\ &geq sen{x-sum_{i=1}^n sef{x,e_i}e_i}^2. eea eeex$$
5. ($15$ 分) 设 $H$ 是 Hilbert 空间, $sed{e_n; ngeq 1}$ 是其中的规范正交基. 证明级数 $dps{vsm{n}al_ne_n}$ 按 $H$ 中的范数收敛等价于弱收敛.
证明: $ a$: 强收敛蕴含弱收敛. $la$: 设 $$ex sum_{k=1}^n al_ke_k hu x_0quadsex{n oinfty}, eex$$ 则对 $forall l$, $$ex al_l=sef{sum_{k=1}^n al_k e_k,e_l} o sef{x_0,e_l}quadsex{n oinfty} a al_l=sef{x_0,e_l}. eex$$ 于是 $$ex x_0=vsm{n}sef{x_0,e_n}e_n=vsm{n}al_ne_n. eex$$ 这就是强收敛.
6. ($20$ 分) 设 $1leq p<infty$, $x_n=(x_{ni})in ell^p (ngeq 1)$, 并且范数有界, 则当 $forall igeq 1$, $x_{ni} o x_i (n oinfty)$ 时, 存在 $sed{x_n}$ 的凸组合的序列 $sed{y_n}$ 依范数收敛于 $x=(x_i)$.
证明: 设 $X=ell^p$, 则 $X^*=ell^q (1/p+1/q=1 a 1<qleq infty)$. 把 $x_n$ 看成 $X^*$ 上的有界线性泛函, 则由第 3 题, $x_n hu x_0$. 由 Mazur 定理即知结论.
题目来源: http://www.cnblogs.com/zhangwenbiao/p/4223984.html