1. 设 $A,B,C$ 都是集合 $M$ 的子集, 请证明: $$ex (Csubset A)wedge (Csubset B)lra (Csubset Acap B). eex$$
证明: 显然成立.
2. 设集合 $X$ 满足 $ar{ar bN}leq ar{ar X}$. 请证明: 集合 $Y=XcupbN$ 满足 $ar{ar X}=ar{ar Y}$.
证明: 显然 $ar{ar X}leq ar{ar Y}$. 另一方面, 由 $ar{ar N}leq ar{ar X}$ 知 $X$ 由一个可数子集 $A$, $$ex Y=XcupbN =(Xs A)cup (AcupbN) sim (Xs A)cup A =X a ar{ar Y}leq ar{ar X}. eex$$ 据 Cantor-Bernstein 定理即知 $ar{ar X}=ar{ar Y}$.
3. 设 $al>1$, 求极限 $$ex vlm{n}frac{n^al}{al^n},quad vlm{n}frac{al^n}{n!},quad vlm{n}frac{n!}{n^n}. eex$$
解答: 由 $$eex ea frac{n^al}{al^n}&=frac{n^al}{(1+gm)^n}quadsex{gm=al-1>0}\ &leq frac{n^{[al]+1}}{sex{natop [al]+2}gamma^{[al]+2}}quadsex{n>[al]+2} eea eeex$$ 即知第一个极限 $=0$. 又由 $$eex ea frac{al^n}{n!} &leq frac{([al]+1)^n}{n!} =frac{[al]+1}{1}cdots frac{[al]+1}{[al]+1}cdots frac{[al]+1}{n}quadsex{n>[al]+1}\ &leq frac{([al]+1)^{[al]+1}}{([al]+1)!} frac{[al]+1}{n} eea eeex$$ 知第二个极限 $=0$. 最后由 $$ex frac{n!}{n^n}=frac{1cdots n}{ncdots n}leq frac{1}{n} eex$$ 知第三个极限 $=0$.
4. 设数列 $sed{a_n}$ 和 $sed{b_n}$ 满足
(1). $a_nsearrow 0$.
(2). $dps{exists M>0,st sev{sum_{k=1}^nb_k}leq M}$, $forall ninbN$. 请证明级数 $dps{vsm{n}a_nb_n}$ 收敛.
证明: 设 $dps{T_n=sum_{k=1}^n b_k}$, 则 $$eex ea sev{sum_{k=n}^{n+p}a_kb_k} &=sev{sum_{k=n}^{n+p}a_k(T_k-T_{k-1})}\ &=sev{sum_{k=n}^{n+p}a_kT_k -sum_{k=n-1}^{n+p-1}a_{k+1}T_k}\ &=sev{sum_{k=n}^{n+p} (a_k-a_{k+1})T_k +a_{n+p}T_{n+p} -a_nT_{n-1}}\ &leq Msum_{k=n}^{n+p}|a_k-a_{k+1}| +M a_{n+p}+M a_n\ &leq M(a_n-a_{n+p+1})+2Ma_n\ &leq 3Ma_n. eea eeex$$ 据 Cauchy 收敛准则即知结论成立.
5. 设 $n(k) (k=1,2,cdots)$ 是从自然数集 $bN=sed{1,2,cdots}$ 到 $bN$ 的一个 $1$ - $1$ 映射. 令 $b_k=a_{n(k)} (k=1,2,cdots)$. 我们称级数 $dps{vsm{n}b_n}$ 是级数 $dps{vsm{n}a_n}$ 的一个重排. 证明对任何实数 $al$, 存在级数 $dps{vsm{n}frac{(-1)^n}{n}}$ 的一个重排, 使得该重拍级数之和为 $al$.
证明: 设 $$ex S_n=-1-frac{1}{3}-cdots-frac{1}{2n-1},quad T_n=frac{1}{2}+frac{1}{4}+cdots+frac{1}{2n}. eex$$ 则 $S_n$ 发散到 $-infty$, $T_n$ 发散到 $+infty$. 取 $n_1$ 充分大使得 $S_{n_1}<al$. 再取 $n_2>n_1$ 使得 $S_{n_1}+T_{n_2}>al$. 然后取 $n_3>n_2$ 使得 $T_{n_2}+S_{n_3}<al$. 一直如此做下去, 得到 $sed{n_k}$, 使得 $$eelabel{389_5_eq} k odd a S_{n_k}+T_{n_{k+1}}>al,quad k even a T_{n_k}+S_{n_{k+1}}<al. eee$$重排 $dps{vsm{n}frac{(-1)^n}{n}}$ 如下: $$ex -1-cdots-frac{1}{2n_1+1} +frac{1}{2}+cdots+frac{1}{2n_2}\ -frac{1}{2(n_1+1)+1} -cdots -frac{1}{2n_3+1} +frac{1}{2(n_2+1)} +cdots +frac{1}{2n_4}-cdots. eex$$ 由 eqref{389_5_eq} 知上述级数收敛于 $al$. 事实上, 设 $s_n$ 为上述级数的部分和, 则 $$ex vls{n}s_nleq alleq vli{n}s_n. eex$$
6. 利用 $ve-delta$ 语言证明函数 $f(x)=x^2+xsin x$ 在 $x=1$ 处是连续的.
证明: 对 $forall ve>0$, 取 $$ex delta=minsed{frac{ve}{5},1}>0, eex$$ 则当 $|x-1|<delta$ 时, $$eex ea |f(x)-f(1)| &leq |x^2-1|+|xsin x-sin 1|\ &leq |x+1|cdot |x-1| +|x-1|cdot |sin x| +|sin x-sin 1|\ &leq 3|x-1| +|x-1| +|x-1|\ &<ve. eea eeex$$
7. 定义函数 $f:bR o bR$ 如下: $$ex f(x)=sedd{a{ll} frac{1}{N},&xinbQ, N=minsed{q;x=frac{p}{q}; pinbZ, qinbN},\ 0,&x otinbQ. ea} eex$$ 试分析 $f(x)$ 在 $bR$ 上的连续性.
证明: 若 $x_0inbQ$, 则 $f(x_0)=1/N$, $N=min{q; x=p/q, pinbZ, qinbN}$. 取 $bRsbQ i x_n o x_0$, 则 $f(x_n)=0 ot o f(x_0)$. 故 $f$ 在 $x_0$ 处不连续. 若 $x_0 otinbQ$, 则对 $forall ve>0$, 满足 $1/Ngeq ve$ 的 $N$ 仅有有限个, 而在 $([x_0],[x_0]+1)$ 内能表成 $M/N$ ($MinbZ, 1/Ngeq ve$) 的有理数也仅有有限个. 取 $delta>0$, 使得 $U(x_0,delta)$ 不含上述这些有理数, 则 $$ex xin U(x_0,delta) a |f(x)-f(x_0)|<ve. eex$$
8. 证明连续函数 $f(x)=sin 1/x$ 在 $(0,1)$ 不是一致连续的.
证明: 取 $$ex x_n=frac{1}{2npi},quad y_n=frac{1}{(2n+1/2)pi}, eex$$ 则 $$ex |x_n-y_n|<frac{1}{2npi} o 0,quad |f(x_n)-f(y_n)|=1. eex$$
题目来源于袁亚湘老师的人人网.