1. ($5'$) 利用 $ve-N$ 语言证明 $$ex vlm{n}frac{2015cdot 2^n+20sin n}{n!}=0. eex$$
证明: 对 $forall ve>0$, 取 $$ex N=sez{frac{4050}{ve}}+1, eex$$ 则当 $ngeq N$ 时, $$ex sev{frac{2015cdot 2^n+20sin n}{n!}} leq frac{2015cdot 2cdots 2}{n(n-1)cdots 1} +frac{20}{n!} leq frac{4030}{n} +frac{20}{n}=frac{4050}{n}<ve. eex$$
2. ($10'$) 求极限: $$ex lim_{x o +infty}frac{x^{2015}}{e^x},quad lim_{x o 0^+}x^{x^x-1}. eex$$
解答:
(1). 不断使用 L'Hospital 法则, 得结果 $=0$.
(2). $$eex ea mbox{原极限} &=expsez{lim_{x o 0^+}(x^x-1)ln x} =expsed{lim_{x o 0^+}sez{exp(xln x)-1}ln x}\ &=expsex{lim_{x o 0^+}xln xcdot ln x}=1. eea eeex$$
3. ($10'$) 设连续函数 $f(x)$ 满足 $$ex sup_{x,yinbR}|f(x+y)-f(x)-f(y)|<infty, eex$$ 而且 $$ex vlm{n}frac{f(n)}{n}=2015. eex$$ 请证明: $$ex sup_{xinbR} |f(x)-2015 x|<infty. eex$$
证明: 这个我已经在家里蹲大学数学杂志第5卷第298期丘成桐大学生数学竞赛2014年分析与方程个人赛试题参考解答[4140--4146] 第一题中给出了证明.
4. ($10'$) 在 $[0,1]$ 上构造一个实函数 $f(x)$, 使得它在 $[0,1]$ 上递增, 在所有的有理点上都不连续而且满足 $f(0)=0$ 和 $f(1)=1$.
解答: 设 $(0,1)cap bQ=sed{r_1,r_2,r_3,cdots}$, 则取 $$ex f(x)=sedd{a{ll} 0,&x=0,\ sum_{r_n<x}frac{1}{2^n},&0<x<1,\ 1,&x=1. ea} eex$$
5. ($10'$) 函数 $f(x)$ 的 Taylor 公式 (Lagrange 余项) 为 $$eelabel{389_5_eq} f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+cdots + frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+frac{f^{(n+1)}(xi_n)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}, eee$$其中 $xi_n$ 介于 $x_0$ 和 $x$ 之间. 如果 $f^{(n+2)}(x_0) eq 0$, 请证明 $$ex lim_{x o x_0}frac{xi_n-x_0}{x-x_0}=frac{1}{n+2}. eex$$
证明: 将 eqref{389_5_eq} 与下式 $$ex f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+cdots+frac{f^{(n+1)}(x_0)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} +frac{f^{(n+2)}(x_{n+1})}{(n+2)!}(x-x_0)^{n+2} eex$$ 比较有 (由 Lagrange 中值定理) $$ex f^{(n+2)}(eta_n)frac{xi_n-x_0}{x-x_0} =frac{f^{(n+1)}(xi_n)-f^{(n+1)}(x_0)}{x-x_0} =frac{f^{(n+2)}(xi_{n+1})}{n+2}. eex$$ 令 $n oinfty$ 既有结论.
6. ($15'$) 计算不定积分 $$ex int e^{-2x}sin 5x d x,quad int frac{cos ^3x}{sin^4x} d x,quad int frac{2x^3+x^2+2x-1}{x^4-1} d x. eex$$
解答:
(1). 把 $e^{-x}$ 拉到微分里去, 分部积分两次得 $$ex int e^{-2x}sin 5x d x =-frac{1}{26}e^{-x}(sin 5x+5cos 5x). eex$$
(2). $$eex ea int frac{cos^3x}{sin^4x} d x &=int frac{sex{frac{1-t^2}{1+t^2}}^3}{sex{frac{2t}{1+t^2}}^4}cdot frac{2}{1+t^2} d tquadsex{ an frac{x}{2}=t}\ &=frac{1}{8}intfrac{(1-t^2)^3}{t^4} d t\ &=frac{1}{8}int frac{1-3t^2+3^4-t^6}{t^4} d t\ &=frac{1}{8}int t^{-4} -3t^{-2} +3-t^2 d t\ &=frac{1}{8} sex{ -frac{1}{3}t^{-3} +3t^{-1} +3t-frac{1}{3}t^3 }+C\ &=-frac{1}{24}cot^3frac{x}{2} +frac{3}{8}cotfrac{x}{2} +frac{3}{8} an frac{x}{2} -frac{1}{24} an^3frac{x}{2}+C. eea eeex$$
(3). $$eex ea int frac{2x^3+x^2+2x-1}{x^4-1} d x &=int frac{2x^2(x+1)-(x^2-2x+1)}{x^4-1} d x\ &=int frac{2x^2}{(x^2+1)(x-1)} d x -int frac{x-1}{(x^2+1)(x+1)} d x\ &=int frac{x+1}{x^2+1} +frac{1}{x-1} d x -int frac{x}{x^2+1}-frac{1}{x+1} d x\ &=int frac{1}{1+x^2} +frac{1}{x-1}+frac{1}{x+1} d x\ &=arctan x+ln |x^2-1|+C. eea eeex$$
7. ($15'$) 计算 Riemann 积分: $$ex int_1^{pi+1}sin^2x d x,quad int_0^1 (1-x^2)^{2015} d x,quad int_0^{pi/2} sin xsin 2xsin 3x d x. eex$$
解答:
(1). $$ex int_1^{pi+1}sin^2x d x =int_1^{pi+1}frac{1-cos 2x}{2} d x =frac{pi}{2}. eex$$
(2). 设 $$ex I_n=int_0^{pi/2}cos^nx d x, eex$$ 则 $$eex ea I_n&=int_0^{pi/2} cos^{n-2}(1-sin^2x) d x\ &=I_{n-2} +int_0^{pi/2}sin x d frac{cos^{n-1}x}{n-1}\ &=I_{n-2} -int_0^{pi/2} cos xfrac{cos^{n-1}x}{n-1} d x. eea eeex$$ 于是 $$ex I_n=frac{n-1}{n}I_{n-2} a I_{2n+1}=frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}, eex$$ $$eex ea int_0^1(1-x^2)^{2015} d x &=int_0^{pi/2} cos^{4031}x d xquadsex{x=sin t}\ &=frac{4030!!}{4031!!}\ eea eeex$$
(3). $$eex ea int sin xsin 2xsin 3x d x &=int frac{1}{2}[cos x-cos 3x]sin 3x d x\ &=frac{1}{4}int (sin 4x+sin 2x)-sin 6x d x\ &=frac{1}{4}sex{-frac{cos 4x}{4} -frac{cos 2x}{2} +frac{cos 6x}{6}}|_{x=0}^{x=frac{pi}{2}}\ &=frac{1}{6}. eea eeex$$
8. ($10'$) 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续可微且 $f(a)=0$. 证明不等式 $$ex sup_{aleq xleq b}|f(x)|leq (b-a)int_a^b |f'(x)|^2 d x. eex$$
证明: $$ex |f(x)|^2 =sev{f(x)-f(a)}^2 leq sex{int_a^x |f'(t)| d t}^2 leq (b-a)^2int_a^x |f'(t)|^2 d t. eex$$
9. ($10'$) 令 $$ex A_n=sum_{k=1}^n ln(k+1), eex$$ 证明级数 $dps{vsm{n}frac{1}{A_n}}$ 发散.
证明: 由 $$eex ea A_n&=sum_{k=1}^nln(k+1) leq sum_{k=1}^nint_{k+1}^{k+2}ln x d x =int_2^{n+2}ln x d x\ &leq int_1^{n+2} ln x d x=(n+2)ln (n+2)-(n+1), eea eeex$$ $$ex frac{frac{1}{A_n}}{frac{1}{(n+2)ln (n+2)}} geq frac{(n+2)ln(n+2)}{(n+2)ln(n+2)-(n+1)} =frac{1}{1-frac{n+1}{n+2}frac{1}{ln(n+2)}} o 1quadsex{n oinfty} eex$$ 及比较判别法知原级数发散.
10. ($5'$) 计算反常积分 $$ex int_0^infty frac{ln x}{(1+x^{ln x})x} d x. eex$$
解答: $$ex mbox{原积分} =int_0^infty frac{ln x}{1+x^{ln x}} d (ln x) =int_{-infty}^{+infty} frac{t}{1+e^{t^2}} d t =0. eex$$
题目来源于袁亚湘老师的人人网.