设 $f$ 在 $x=a$ 处连续, $|f|$ 在 $x=a$ 处可导. 试证: $f$ 在 $x=a$ 处可导.
证明: (1). 若 $f(a)>0$, 则由连续函数的保号性, $$ex exists delta>0,st xin (a-delta,a+delta) a f(x)>0 a frac{f(x)-f(a)}{x-a}=frac{|f(x)|-|f(a)|}{x-a}. eex$$ 令 $x o a$, 有 $$ex f'(a)=|f|'(a). eex$$ (2). 若 $f(a)=0$, 则 $$ex |f|'(a)=lim_{x o a}frac{|f(x)|}{x-a}. eex$$ 注意到 $$ex x<a a frac{|f(x)|}{x-a}leq 0,quad xgeq a a frac{|f(x)|}{x-a}geq 0, eex$$ 我们有 $$ex |f|'(a)=|f|'_-(a)leq 0,quad |f|'(a)=|f|'_+(a)geq 0. eex$$ 而 $|f|'(a)=0$, $$ex 0=lim_{x o a}frac{|f(x)|}{x-a}cdot frac{x-a}{|x-a|} =lim_{x o a}sev{frac{f(x)}{x-a}} =sev{lim_{x o a}frac{f(x)}{x-a}}, eex$$ $$ex 0=lim_{x o a}frac{f(x)}{x-a}=f'(a). eex$$ (3). 若 $f(a)<0$, 则同 (1), $$ex exists delta>0,st xin (a-delta,a+delta) a f(x)<0 a frac{f(x)-f(a)}{x-a}=-frac{|f(x)|-|f(a)|}{x-a}. eex$$ 令 $x o a$, 有 $$ex f'(a)=-|f|'(a). eex$$