1. $$ex vlm{n}sex{frac{1}{n+1}+cdots+frac{1}{2n}}. eex$$
2. 对 $al,eta eq -1$, 求 $$ex vlm{n}frac{[1^al+3^al+cdots+(2n+1)^al]^{eta+1}}{[2^eta+4^eta+cdots+(2n)^eta]^{al+1}}. eex$$
3. $$ex vlm{n}int_0^frac{pi}{2} sin^nx d x. eex$$
4. 设 $fin C[0,1]$, 试证: $$ex lim_{h o 0^+} int_0^1 frac{h}{h^2+x^2}f(x) d x=frac{pi}{2}f(0). eex$$
5. 设 $0leq f, 0<gin C[a,b]$, 试证: $$ex vlm{n} sez{int_a^b f^n(x)g(x) d x}^frac{1}{n}=max_{aleq xleq b}f(x). eex$$
6. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可导, $f'(x)in calR[a,b]$, $$ex A_n=sum_{i=1}^n fsex{a+ifrac{b-a}{n}}frac{b-a}{n} -int_a^b f(x) d x,quad n=1,2,cdots. eex$$ 试证: $$ex vlm{n}nA_n=frac{b-a}{2}[f(b)-f(a)]. eex$$
7. 设 $fin calR[a,b]$, $0leq gin calR[a,b]$, $g$ 以 $T$ 为周期, 试证: $$ex vlm{n}int_a^b f(x)g(nx) d x =frac{1}{T}int_0^T g(x) d xcdot int_0^T f(x) d x. eex$$
8. 设 $0leq fin C[a,b], earrow$, 由积分中值定理, $$ex forall n=1,2,cdots, exists x_nin [a,b],st f^n(x_n)=frac{1}{b-a}int_a^b f^n(x) d x. eex$$ 试求 $$ex vlm{n}x_n. eex$$
作业. 设 $0<fin C[0,1]$, 试求 $$ex vlm{n}sqrt[n]{fsex{frac{1}{n}}fsex{frac{2}{n}}cdots fsex{frac{n-1}{n}}f(1)}. eex$$
作业. 设 $$ex f(x)=int_x^{x^2} sex{1+frac{1}{2t}}^t sin frac{1}{sqrt{t}} d t,quad x>0. eex$$ 试求 $$ex vlm{n}f(n)sinfrac{1}{n}. eex$$