试判断 $$ex int_{-infty}^{+infty}x^ne^{-sex{x^2+frac{1}{x^2}}} d xquad(ninbN) eex$$ 的敛散性.
解答: $$ex int_{-infty}^{+infty}x^ne^{-sex{x^2+frac{1}{x^2}}} d x =int_{-infty}^{-1}+int_{-1}^0 +int_0^1+int_1^{+infty} x^ne^{-sex{x^2+frac{1}{x^2}}} d x =I_1+I_2+I_3+I_4. eex$$ 对 $I_1,I_4$, 由 $$ex |x^ne^{-sex{x^2+frac{1}{x^2}}}| leq |x|^n e^{-|x|^2}, quad lim_{|x| o infty} frac{|x|^ne^{-|x|^2}}{1/|x|^2} =lim_{t o+infty} frac{t^{n+2}}{e^{t^2}}=0 eex$$ 及比较判别法即知 $I_1,I_4$ 绝对收敛. 而对 $I_2,I_3$, 由 $$ex vlm{x} x^ne^{-sex{x^2+frac{1}{x^2}}}=0 eex$$ 知被积函数延拓定义 $x=0$ 后在 $[-1,1]$ 上连续. 综上, 原反常积分绝对收敛.
试证: $$ex 0leq fin C(0,infty), int_0^infty f(x) d x<infty a vlm{n}frac{1}{n}int_0^n f(x) d x=0. eex$$
证明: 由 $$ex 0leq fin C(0,infty), int_0^infty f(x) d x<infty eex$$ 及 Cauchy 收敛原理知 $$ex {color{red}forall ve>0,} exists N_1,st ngeq N_1 a int_{N_1}^n f(x) d x<frac{ve}{2}. eex$$ 又对该 $N_1$, 由 $$ex vlm{n}frac{1}{n}int_0^{N_1} f(x) d x=0 eex$$ 知 $$ex {color{red}exists N}>N_1,st ngeq N a frac{1}{n}int_0^{N_1} f(x) d x<frac{ve}{2}. eex$$ 于是 $$ex {color{red}ngeq N a frac{1}{n}int_0^n f(x) d x =frac{1}{n}int_0^{N_1} f(x) d x +frac{1}{n}int_{N_1}^n f(x) d x <ve.} eex$$