一. 已知数列 $ {a_{n}} $ 满足 $ a_{1}=1/2 $ 且 $ a_{n+1}=a_{n}-a_{n}^{2} $
(1) 证明： $ 1leq
frac{a_{n}}{a_{n+1}}leq 2 $
(2) 设数列 $ {a_{n}^{2}}
$ 的前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $ , 证明 $ frac{1}{2(n+2)}leq
frac{S_{n}}{n}leqfrac{1}{2(n+1)} $
二. 在数列 $ {a_{n}} $ 中, $
a_{1}=3 $ , $ a_{n+1}a_{n}+lambda
a_{n+1}+u a_{n}^2=0 $
(1) 若 $ lambda=0,
u=-2 $ , 求数列 $ {a_{n}}
$ 的通项公式
(2) 若 $ lambda =
frac{1}{k_{0}}(k_{0}in bN_{+}, k_{0}geq 2), u=-1 $ , 证明 $ 2+frac{1}{3k_{0}+1}<a_{k_{0}+1}<2+frac{1}{2k_{0}+1}
$
三. 设函数 $ f(x)=e^{mx}+x^{2}-mx $
(1) 证明: $ f(x)
$ 在 $ (-infty, 0) $ 单调递减，在 $ (0, +infty)
$ 单调递增
(2) 若对任意的 $ x_{1}, x_{2}in
[-1, 1] $ , 都有 $ |f(x_{1})-f(x_{2})|leq e-1 $
, 求 $ m $ 的取值范围.
四. 已知函数 $ f(x)=ln
(x+1), g(x)=k x (k in bR) $
(1) 证明： 当 $ x>0 $ 时, $ f(x)<x $
(2) 证明：当 $ k<1 $ 时存在 $ x_{0}>0
$ , 使得任意的 $ xin (0, x_{0}) $ 恒有 $ f(x)>g(x) $
(3) 确定 $ k $ 的所有可能只使得存在 $ t>0
$ , 对任意的 $ xin(0, t) $ 恒有 $ |f(x)-g(x)|<x^{2} $
五. 已知函数 $ f(x)=-2(x+a)ln
x +x^{2}-2ax-2a^{2}+a (a>0) $
(1). 设 $ g(x) $ 是 $ f(x) $ 的导函数，讨论 $ g(x)
$ 的单调性
(2) 证明存在 $ ain(0, 1)
$ 使得 $ f(x)geq 0 $ 在区间 $ (1, +infty)
$ 恒成立且 $ f(x)=0 $ 在区间 $ (1, +infty) $ 内有唯一解
六.
已知 $ a>0 $ 函数 $ f(x)=e^{ax}sin x (xgeq 0) $
记 $ x_{n} $ 为 $ f(x) $ 的从小到大的第 $ n $
个极值点，证明
(1) 数列 $ f(x_{n}) $
是等比数列
(2) 若 $ ageq
frac{1}{sqrt{e^{2}-1}} $ , 则对一切 $ x_{n}<|f(x_{n})|
$ 恒成立
七.
设函数 $ f(x)=ln (x+1)+a(x^{2}-x), a in bR $
(1) 讨论函数 $ f(x) $ 极值点的个数
(2) 任意 $ x, f(x)geq
0 $ 成立，求 $ a $ 的取值范围
八. 设 $ x_{n} $ 是曲线 $ y=x^{2n+2}+1 $ 在点 $ (1, 2) $ 处的切线与 $ x $ 轴交点的横坐标
(1) 求数列 $ {x_{n}}
$ 之通项公式
(2) 记 $ T_{n}=x_{1}^{2}x_{3}^{2}cdot
x_{2n-1}^{2} $ , 证明 $ T_{n}geq frac{1}{4n} $
九. 数列 $ {a_{n}}
$ 满足 $ a_{1}+2a_{2}+cdot+na_{n}=4-frac{n+2}{2^{n-1}} $
(1) 求数列 $ {a_{n}}
$ 的前 $ n $ 项和 $ T_{n} $
(2) 令 $ b_{1}=a_{1}
$ ， $ b_{n}=frac{T_{n-1}}{n}+(1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+cdot+frac{1}{n})a_{n}
(ngeq 2) $ ，证明 $ {b_{n}} $ 的前 $ n $ 项和 $ S_{n} $ 满足 $ S_{n}<2+2ln
n $
十. 已知数列 $ {a_{n}}
$ 满足 $ a_{1}in bN_{+}, a_{1}leq 36 $ 且当 $ a_{n}geq
18 $ 时 $ a_{n+1}=2a_{n} $ ，其他 $ a_{n+1}=2a_{n}-36
$ , 记集合 $ M={a_{n}|nin bN_{+}} $
(1) 若 $ a_{1}=6 $
写出 $ M $ 中所有元素
(2) 若集合 $ M $ 存在一个元素是3的倍数则 $ M $ 中所有元素为3的倍数
(3) 求集合 $ M $ 中元素个数的最大值
十一.
已知集合 $ X={1, 2, 3}, Y_{n}={1, 2, 3, cdot, n} $ ，设 $ S_{n}={(a,
b)| ain X, bin Y_{n}} $ 并且 $ S_{n} $ 元素满足 $ a $ 整除 $ b $ 或 $ b $ 整除 $ a $ ， $ f(n) $ 表示 $ S_{n} $ 所含元素的个数, 写出 $ f(n) $ 的表达式.
转自: http://www.cnblogs.com/zhangwenbiao/p/4823271.html