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1. $(10')$ 在 $bR^3$ 上定义线性变换 $scrA, scrA$ 在自然基 [varepsilon_1=left(egin{array}{c} 1\ 0\ 0end{array} ight),varepsilon_2=left(egin{array}{c} 0\ 1\ 0end{array} ight),varepsilon_3=left(egin{array}{c} 0\ 0\ 1end{array} ight)] 下的矩阵为 [left(egin{array}{ccc} 0&1&-1\ 0&0&1\ 0&0&0end{array} ight)] 求 $bR^3$ 的一组基, 使得 $scrA$ 在这组基下具有 Jordan 型.
2. $(10')$ $3$ 阶实矩阵 $A$ 的特征多项式为 $x^3-3x^2+4x-2$. 证明$A$ 不是对称阵也不是正交阵.
3. $(15')$ 在所有 $2$ 阶实方阵上定义二次型 $f$:$X ightarrow r(X^2)$, 求 $f$ 的秩和符号差.
4. $(15')$ 设 $V$ 是有限维线性空间, $scrA,scrB$ 是 $V$ 上线性变换满足下面条件:
(1) $scrAscrB=scrO$;
(2) $scrA$ 的任意不变子空间也是 $scrB$ 的不变子空间;
(3) $scrA^5+scrA^4+scrA^3+scrA^2+scrA=scrO$.
证明 $scrBscrA=scrO$.
5. $(15')$ 设 $V$ 是全体次数不超过 $n$ 的实系数多项式组成的线性空间. 定义线性变换$scrA$:$f(x) ightarrow f(1-x)$. 求 $scrA$ 的特征值和对应的特征子空间.
6. $(15')$ 计算行列式.各行底数为等差数列,各列底数也为等差数列,所有指数都是$50$: [left|egin{array}{ccccc} 1^{50}&2^{50}&3^{50}&cdots &100^{50}\ 2^{50}&3^{50}&4^{50}&cdots &101^{50}\ vdots&vdots&vdots&ddots&vdots\ 100^{50}&101^{50}&102^{50}&cdots& 199^{50}\end{array} ight|.]
7. $(20')$ 设 $V$ 是复数域上有限维线性空间, $scrA$ 是 $V$ 上可线性变换, $scrA$ 在一组基下矩阵为 $F$. 证明:
(1) 若 $scrA$ 可对角化, 对任意 $scrA$ 的不变子空间 $U$, 存在$U$ 的一个补空间 $W$ 是 $scrA$ 的不变子空间;
(2) 若对任意 $scrA$ 的不变子空间 $U$, 存在 $U$ 的一个补空间 $W$ 是 $scrA$ 的不变子空间,证明 $F$ 可对角化.
8. $(20')$ 平面上一个可逆仿射变换将一个圆映为椭圆或圆. 详细论证这一点.
9. $(15')$ 平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 与双曲抛物面 $2z=x^2-y^2$ 交于两条直线. 证明 $A^2-B^2-2CD=0$.
10. $(15')$ 正十二面体有 $12$ 个面, 每个面为正五边形, 每个顶点连接 $3$ 条棱. 求它的内切球与外接球半径比.