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1. ($20'$) 计算极限 $$ex lim_{x o 0}sex{frac{e^x+e^{2x}+cdots+e^{nx}}{n}}^frac{1}{x}. eex$$
2. ($20'$) 求定积分 $$ex I=int_0^1 ln(1+sqrt{x}) d x. eex$$
3. ($15'$) 求二重极限 $$ex lim_{x o inftyatop y oinfty} frac{x+y}{x^2-xy+y^2}. eex$$
4. ($12'$) $f(x)$ 是 $[a,b]$ 的连续正函数. 求证存在 $xiin (a,b)$, 使得 $$ex int_a^xi f(x) d x =int_xi^b f(x) d x =frac{1}{2}int_a^b f(x) d x. eex$$
5. ($15'$) 求以下曲面所围立体的体积: $$ex S_1: frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}+frac{z^2}{c^2}=1,quad S_2: frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=frac{z^2}{c^2}quad(zgeq 0). eex$$
6. ($12'$) $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数, 且 $f(x)$ 单调递增. 求证: $$ex int_a^b tf(t) d tgeq frac{a+b}{2}int_a^b f(t) d t. eex$$
7. ($12'$) 若数列 $sed{a_n}$, $sed{b_n}$ 满足条件:
(1) $a_1geq a_2geq cdots$, 且 $dps{vlm{n}a_n=0}$;
(2) 存在正数 $M$, 对任意的正整数 $n$, 均有 $dps{sev{sum_{k=1}^n b_k}leq M}$.
证明级数 $dps{vsm{n}a_nb_n}$ 收敛.
8. ($15'$) 设 $0leq a<b/2$, $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 内可导且 $f(a)=a$, $f(b)=b$.
(1) 求证: 存在 $xiin (a,b)$, 使得 $f(xi)=b-xi$;
(2) 若 $a=0$, 求证: 存在 $al,ein (a,b), al eq e$ 使得 $f'(al)f'(e)=1$.
9. ($15'$) 求椭圆 $x^2+4y^2=4$ 上的点到直线 $2x+3y=6$ 的最短距离.
10. ($15'$) 半径为 $R$ 的球面 $S$ 的球心在单位球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 上, 求球面 $S$ 在单位球内面积的最大值, 并求出此时的 $R$.