中国科学院大学2016年硕转博考试试题

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2016年9月17日，国科大举行硕转博公共基础课考试，试题分三个方向，考试满90分才算合格！

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数学：三选二（公共基础部分）

分析
一、 求[I=int_0^{2pi} frac1{a+cos heta}d heta,quad a>1.]

二、 设复变函数$f(z)$为整函数,且存在正整数$n$以及常数$R>0,M>0$,使得当$|z|>R$时,有$|f(z)|leq M|z|^n$.试证明: $f(z)$是一个至多$n$次的多项式或一常数.

三、 陈述Lebesgue控制收敛定理并证明[lim_{n o+infty}int_0^inftyfrac{ln (x+n)}ne^{-x}cos xd x=0.]

四、 陈述开映射定理并证明:设$|cdot|_1$和$|cdot|_2$是线性空间$X$上的两种范数,且使得$(X,|cdot|_1)$和$(X,|cdot|_2)$都是完备的.若存在常数$a>0$使得对任意$xin X$,有$|x|_2leq a|x|_1$,则一定存在常数$b>0$,使得对任意$xin X$,有$|x|_1leq b|x|_2$.

代数

一、 设$a$和$b$是群$G$的元素,阶数分别为$m$和$n$, $(m,n)=1$且$ab=ba$.证明$ab$的阶为$mn$.

二、 设$S_n$是${1,2,cdots,n}$上的$n$次对称群.证明:
1) $S={sigma|sigmain S_n,sigma (1)=1}$是$S_n$的子群;
2) ${(1),(1,2),(1,3),cdots,(1,n)}$组成$S$在$S_n$中的一个左陪集代表元素.

三、 设群$G$作用在集合$X$上.记$n$为$X$在$G$作用下的轨道个数,对任意$ain X$,记$Omega_a={ga|gin G}$是$a$所在的轨道, $Ga={gin G|ga=a}$为$a$的固定子群.对任意$gin G$,记$f(g)$为$X$在$g$作用下的不动点个数.证明:
1) $binOmega_aLeftrightarrow Omega_a=Omega_b$;
2) 对任意$gin G$,有$G_{ga}=gG_ag^{-1}$;
3) $sum_{gin G}f(g)=n|G|$.

四、 设$R,S$是环, $f:R o S$是环的同态.证明同态核$ker f$是环$R$的理想,并且映射
egin{align*}F:R/ker f& o S\overline r&mapsto f(r)end{align*}
是环的单同态,特别地: $F:R/ker f o mathrm{Im} f$是环的同构.

五、 证明多项式$x^2+x+1$与$x^3+x+1$在$mathbb{Z}_2$上不可约,并求出有限域$mathbb{Z}_2$上的全部三次不可约多项式.

几何拓扑

一、 在实数集$mathbb{R}$上定义一个拓扑,使其包含$(0,2)$与$(1,3)$,且包含尽可能少的开集.

二、 设$X$是一个拓扑空间, $A$与$B$是$X$的子集, $overline A$与$overline B$分别为$A$与$B$的闭包.证明若$Asubset B$,则$overline Asubset overline B$.

三、 设${X_n}$是具有标准拓扑的实数集$mathbb{R}$中的数列,其中$x_n=frac{(-1)^n}n$.
1) 证明每个含$0$的邻域都包含某个开区间$(-a,a)$;
2) 对任意的$a>0$,存在$Nin mathbb{Z}^+$,使得当$ngeq N$时,有$x_nin (-a,a)$.

四、 求$E^3$中曲线$r(t)=(acos t,asin t,bt)$的曲率和挠率,其中$a$和$b$是不为$0$的常数.

五、求$E^3$中曲面$r(u,v)=(ucos v,usin v,v)$的高斯曲率和平均曲率.

系统科学、控制论（公共基础部分）

一、（50分）简述以下概念和原理：
(1) 对偶原理；

(2) 分离性原理；

(3) 最小实现；

(4) 平衡点；

(5) 渐进稳定性。

二、（20分）判断下述系统是否能控：
[dot x = Ax + bu = left[ {egin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1&0&0\0&{ - 1}&0&0\0&0&1&1\0&0&0&1end{array}} ight]x + left[ {egin{array}{*{20}{c}}1\0\0\{ - 1}end{array}} ight]u.]

三、（20分）判断下述系统是否能观测：
[left{ egin{array}{l}dot x = Ax + bu = left[ {egin{array}{*{20}{c}}0&1&0\0&0&1\{ - 2}&{ - 4}&{ - 3}end{array}} ight]x + left[ {egin{array}{*{20}{c}}1\0\0end{array}} ight]u,\y = cx = left[ {egin{array}{*{20}{c}}1&4&2end{array}} ight]x.end{array} ight.]

四、（20分）判断下述系统的稳定性：
[left{ egin{array}{l}{{dot x}_1} = {x_2},\{{dot x}_2} =  - {x_1}.end{array} ight.]

五、（20分）证明线性系统能观测性在输出反馈下保持不变。

六、（20分）设开区域$D$满足$0in Dsubset mathbb{R}^n$。考虑系统$$dot x=f(x),$$其中$f:D o mathbb{R}^n$是局部李普希兹函数，并且$f(0)=0$。如果存在连续可微函数$V:D o mathbb{R}$满足
(i) 当$xin D-{0}$时$V(x)>0$，且$V(0)=0$,

(ii) $dot V(x)leq 0,xin D$,
证明$x=0$稳定。

统计学（公共基础部分）

一、（15分）数列${a_n}$满足关系式$a_{n+1}=a_n+frac{n}{a_n},a_1>0$.求证$lim_{n oinfty} n(a_n-n)$存在.


二、（15分）设$f(x)$在$(a,b)$内二次可导,且存在常数$alpha,eta$,使得对于$forall xin (a,b)$
$$f'(x)=alpha f(x)+eta f''(x),$$则$f(x)$在$(a,b)$内无穷次可导.

三、（15分）求幂级数$sum_{n=0}^infty frac{n^3+2}{(n+1)!}(x-1)^n$的收敛域与和函数.

四、（15分）设$f(x)$是$mathbb{R}$上有下界或者有上界的连续函数且存在正数$a$使得$$f(x)+aint_{x-1}^x f(t) dt$$为常数.求证: $f(x)$必为常数.

五、（15分）设$f(x,y)$在$x^2+y^2leq 1$上有连续的二阶偏导数, $f_{xx}^2+2f_{xy}^2+f_{yy}^2leq M$.若$f(0,0)=0,f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$,证明$$left |iint_{x^2+y^2leq 1}f(x,y)dxdy ight |leq frac{pisqrt{M}}4. $$

六、（15分）已知[A=left( {egin{array}{*{20}{c}}{ - frac{{sqrt 3 }}{2}}&{ - frac{1}{2}}\{frac{1}{2}}&{ - frac{{sqrt 3 }}{2}}end{array}} ight),]求$A^{2016}$.

七、（15分）已知[A = left( {egin{array}{*{20}{c}}1&2\3&4end{array}} ight),]而$A^n=alpha_nI+eta_n A$.求$alpha_n,eta_n$.

八、 （15分）在$mathbb{R}^4$中,$$alpha=(1,1,-1,1),eta=(1,-1,1,1),gamma=(1,0,1,1),M=(alpha,eta,gamma),$$求$M^ot$的一组标准正交基.（数据忘记了）

九、（15分）已知线性空间$M={(x,y)|x-2y+z=0}$,求$u=(1,2,3)'$在$M$上的正交投影.

十、 （15分）设$u,vin mathbb{R}^n$,若$u'u=v'v$,证明存在$n$阶正交矩阵$Q$,使得$Qu=v,Qv=u$.