2017年北京大学硕士研究生数学分析真题
1.(10分) 证明:$$lim_{n o +infty }int_{0}^{frac{pi }{2}}frac{sin ^nx}{sqrt{pi -2x}}dx=0.$$
2.(10分) 证明:$sum_{n=1}^{infty }frac{1}{1+nx^2}sin frac{x}{n^alpha }$在任何有限区间上一致收敛的充要条件是:$alpha > frac{1}{2}$.
3.(10分) 设$sum_{n=1}^{infty }a_n$收敛.证明$$lim_{s
ightarrow 0+}sum_{n=1}^{infty }a_nn^{-s}=sum_{n=1}^{infty }a_n.$$
4.(10分) 称$gamma (t)=(x(t),y(t))$,$(tin
$属于某个区间$I)$是$mathbb{R}^1$上$C^1$向量场$(P(x,y),Q(x,y))$的积分曲线,若${x}'(t)=P(gamma
(t))$,${y}'(t)=Q(gamma (t)),forall tin
I$,设$P_x+Q_y$在$mathbb{R}^1$上处处非零,证明向量场$(P,Q)$的积分曲线不可能封闭(单点情形除外).
5.(20分) 假设$x_0=1,x_n=x_{n-1}+cos x_{n-1},(n=1,2,cdots )$,证明:当$x
ightarrow infty $时,$x_n-frac{pi }{2}=o(frac{1}{n^n})$.
6.(20分) 假设$fin [0,1],limlimits_{x
ightarrow
0+}frac{f(x)-f(0)}{x}=alpha < eta =limlimits_{x
ightarrow
1-}frac{f(x)-f(0)}{x-1}$,证明:$$forall lambda in [alpha ,eta
],exists x_1,x_2in [0,1],s.t. lambda
=frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.$$
7. (20分)设$f$是$(0,+infty)$上的凹(或凸)函数且$displaystyle lim_{x o+infty}xf'(x)=0$ (仅在$f$可导的点考虑极限过程).
8. (20分)设$phiin C^3(mathbb{R}^3)$,
$phi$及其各个偏导数$partial_iphi(i=1,2,3)$在点$X_0in mathbb{R}^3$处取值都是$0$.
$X_0$点的$delta$邻域记为$U_delta(delta>0)$.如果$left(partial_{ij}^2phi(X_0)
ight)_{3 imes
3}$是严格正定的,则当$delta$充分小时,证明如下极限存在并求之:[mathop {lim }limits_{t o +
infty } t^{frac32}iiint_{{U _delta }} {{e^{ - tphileft(
{x_1,x_2,x_3}
ight)}}\,dx_1dx_2dx_3} .]
9. (30分) 将$(0,pi)$上常值函数$f(x)=1$进行周期$2pi$奇延拓并展为正弦级数:[f(x)sim frac4pisum_{n=1}^infty frac1{2n-1}sin (2n-1)x.]
该Fourier级数的前$n$项和记为$S_n(x)$,则$displaystyle forall xin
(0,pi),S_n(x)=frac2piint_0^xfrac{sin 2nt}{sin
t}dt$,且$displaystyle
lim_{n oinfty}S_n(x)=1$.证明$S_n(x)$的最大值点是$displaystyle
fracpi{2n}$且$displaystylelim_{n oinfty}S_nleft(fracpi{2n}
ight)=frac
2pi int_0^pifrac{sin t}t dt$.
转自: http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=37135