跟锦数学2016年

1. (161231) 已知函数 $f(x)$ 的反函数是 $varphi(y)$, 写出用 $f',f'',f'''$ 表示 $varphi'$, $varphi''$, $varphi'''$ 的表达式.

 

2. (161230) 设 $sed{a_n}$ 递减趋于零, 试证: $$ex vsm{n}f{a_n}{n}<inftylra a_n=Osex{f{1}{ln n}}, vsm{n}(a_n-a_{n+1})ln n<infty. eex$$

 

3. (161229) 设 $$ex a_0=0,quad a_{n+1}=a_n+e^{-a_n} (ngeq 0). eex$$ 再设 $b_n=a_n-ln n (ngeq 1)$. 试证: $$ex 0<b_{n+1}<b_n,quad vlm{n}b_n=0. eex$$

 

4. (161228) [华中科技大学2017数分] 设 $D=sed{(x,y)inbR^2;x^2+y^2leq 1}$, $fin C^1(D)$, 试证: $$ex iint_D |f(x,y)-f(0,0)| d x d y leq iint_D f{sqrt{f_x^2(x,y)+f_y^2(x,y)}}{2sqrt{x^2+y^2}} d x d y. eex$$

 

5. (161227) 设 $fin L^1(bR)$, $f(x)>0$, 定义 $$ex hat f(t)=int_{bR} e^{-i xt}f(x) d x. eex$$ 证明: 对每个 $t eq 0$, 有 $|hat f(t)|< hat f(0)$.

 

6. (161226) 设 $A,B$ 都是 $n$ 阶实方阵, $A$ 半正定, $B$ 半负定, 则 $ r(AB)leq 0$.

 

7. (161225) 判断: 若对数列 ${a_n}$ 的任意两个子列 ${a_{{n}_k}}$ 与 ${a_{{m}_k}}$, 均有 $dps{vlm{k}(a_{{n}_k}-a_{{m}_k})=0}$, 则${a_n}$ 收敛.

 

8. (161224) [Evans PDE P 309] Use the Fourier transform to prove that if $uin H^s(bR^n)$ for $s>n/2$, then $uin L^infty(bR^n)$, with the bound $$ex sen{u}_{L^infty(bR^n)}leq Csen{u}_{H^s(bR^n)}. eex$$

 

9. (161223) [Evans PDE P 307] Integrate by parts to prove $$ex sen{Du}_{L^p}leq Csen{u}_{L^p}^f{1}{2}sen{D^2u}_{L^2}^f{1}{2} eex$$ for $2leq p<infty$ and all $uin C^infty_c(U)$.

 

10. (161222) Let $lm_1, u,al$ be positive and $e>3$. If $$ex lm_1 u^2[ u al(e-1)]^f{2}{e-3}>f{e-3}{e-1}, eex$$ then there exists a positive $del$ such that $$ex u lm_1+al(|x|^{e-1}+|y|^{e-1}) -f{1}{2 u}(|x|^2+|y|^2)geq del,quadforall x,yinbR^n. eex$$

 

11. (161221) [南京师范大学2015高代] 设 $A,B$ 为半正定矩阵, 且 $ r(AB)=0$, 求证: 对任意正整数 $m$, 都有 $(A+B)^m=A^m+B^m$.

 

12. (161220) [矩阵迹的一些性质] 设 $A$ 是数域 $bF$ 上的 $n$ 阶方阵, 则 $A$ 的迹 (trace) 为 $$ex r(A)=sum_{i=1}^na_{ii}. eex$$ 它有如下性质: (1) [线性泛函] $ r(A)= r(A^t)$, $ r(A+B)= r(A)+ r(B)$, $ r(cA)=ccdot r(A)$, $forall cinbF$; (2) [相似不变量] 若 $A,B$ 相似, 则 $ r(A)= r(B)$; (3) $ r(AB)= r(BA)$; (4) $sef{A,B}= r(A^tB)$ 是 $n$ 阶实方阵全体构成的实线性空间 $M_n(bR)$ 上的内积.

 

13. (161219) 设 $ngeq 2$, 实数 $a_1,a_2,cdots,a_n$ 都大于 $-1$, 并且它们有着相同的符号. 证明: $$ex (1+a_1)(1+a_2)cdots(1+a_n)>1+a_1+a_2+cdots+a_n. eex$$

 

14. (161218) (1) 证明方程 $ an x=x$ 在 $dps{sex{npi,npi+f{pi}{2}}}$ 内存在实根 $xi_n$, $n=1,2,cdots$; (2) 求极限 $dps{vlm{n}(xi_{n+1}-xi_n)}$.

 

15. (161217) [华中师范大学2015数分] 设 $Om$ 是 $bR^3$ 中简单光滑闭曲面 $vSa$ 所围的有界连通区域. 考查问题 $$eelabel{161217:eq} seddm{ lap u=0,&(x,y,z)in Om\ u|_{vSa}=f(x,y,z),&(x,y,z)in vSa }, eee$$ 其中 $f(x,y,z)$ 为已知连续函数, $u(x,y,z)$ 为具有二阶连续偏导的未知函数. 证明若问题 eqref{161217:eq} 有界, 则其解是唯一的, 即若 $u(x,y,z),v(x,y,z)$ 皆满足 eqref{161217:eq}, 则有 $u(x,y,z)=v(x,y,z)$.

 

16. (161216) [浙江大学2014高代] 定义 $psi$ 为 $[0,1]$ 到 $n$ 阶方阵全体组成的欧氏空间的连续映射, 使得 $psi(0)$ 为第一类正交阵, $psi(1)$ 为第二类正交阵. 证明: 存在 $T_0in (0,1)$, 使得 $psi(T_0)$ 退化.

 

17. (161215) 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上有定义, 且 $g(0)>0$, $g(1)<0$, $f(x)+g(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增. 试证: 存在 $xiin (0,1)$ 使得 $g(xi)=0$.

 

18. (161214) [上海财经大学2015数分] 试证: (1) $dps{inf_{ngeq 1}|sin n|=0}$; (2) $sed{sin n}$ 发散; (3) 试求 $dps{vsm{n}(sin n)x^{n-1}}$ 的收敛域及和函数.

 

19. (161213) 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 试证: $$ex vlm{n}int_0^1 (n+1)x^nf(x) d x=f(1). eex$$

 

20. (161212) [南开大学2012高代] 判断下列论断是否正确, 并证明你的结论: 设 $scrA,scrB$ 是 $n$ 维实线性空间 $V$ 上的两个线性变换, 且 $scrAscrB=scrBscrA$; 又已知 $scrA,scrB$ 都存在特征向量, 则 $scrA,scrB$ 必有公共的特征向量.

 

21. (161211) Let $dps{frac{3}{2}<q<3}$, and $f, gin C_c^1(bR^3)$, we have $$ex int_{bR^3} |f|^2|g|^2 d x_1 d x_2 d x_3 leq Csen{ f}_{L^q}^2 sen{g}_{L^2}^frac{2(2q-3)}{q} sen{ _hg}_{L^2}^frac{2(3-q)}{q}, eex$$ where $C$ depends only on $q$.

 

22. (161210) 已知 $a_0>0$, $a_n=sqrt{a_{n-1}+6}$, 求极限 $dps{vlm{n}a_n}$.

 

23. (161209) Suppose that $fin W^{1,p}(bR^3)$ and $gin W^{1,q}(bR^3)$ with $1<p,q<infty, 1/p+1/q=1$. Then $ (fg)$ is in $calH^1(bR^3)$. Furthermore, we have $$eelabel{lem:Hardy_bilinear:ineq} sen{ (fg)}_{calH^1}leq C sen{ f}_{L^p}sen{g}_{L^q} +Csen{f}_{L^p}sen{ g}_{L^q}, eee$$ where $C$ is independent of $f$ and $g$.

 

24. (161208) [Hardy type inequality] If $1<p<+infty$, $r eq 1$, $fgeq 0$, and $$ex F(x)=sedd{a{ll} dps{int_0^x f(t) d t,}&r>1,\ dps{int_x^infty f(t) d t,}&r<1, ea} eex$$ then $$eelabel{Hardy:general} int_0^infty x^{-r}F^p d x leq sex{frac{p}{|r-1|}}^p int_0^infty x^{-r} (xf)^p d x. eee$$

 

25. (161207) For $fin dot B^r_{infty,infty}(bR^3)$, $g,hin H^1(bR^3)$ and any $ve>0$, $0<r<1$, $kinsed{1,2,3}$, we have $$eelabel{lem:me:ineq} int_{bR^3}p_kf cdot gh d x leq Csen{f}_{dot B^r_{infty,infty}}^frac{2}{1+r} sen{(g,h)}_{L^2}^2 +ve sen{ (g,h)}_{L^2}^2. eee$$

 

26. (161206) 对 $forall x,yinbR^n, egeq 1$, 试证: $$ex (|x|^{e-1}x-|y|^{e-1}y)cdot (x-y)geq f{1}{2}sex{|x|^{e-1}+|y|^{e-1}}|x-y|^2, eex$$ 且 $dps{f{1}{2}}$ 不能再改进. 这里, $$ex xcdot y=sum_{i=1}^n x_iy_i,quad x=(x_1,cdots,x_n),quad y=(y_1,cdots,y_n). eex$$

 

27. (161205) 试证: $dps{int_0^infty e^{-al x^2}sin x d x}$ 在 $(0,+infty)$ 内不一致收敛.

 

28. (161204) 设 $f(x)$ 有连续的二阶导数, $f(0)=f'(0)=0$, $f''(0)>0$, 试求 $dps{lim_{x o 0}f{int_0^{u(x)}f(t) d t}{int_0^x f(t) d t}}$, 其中 $u(x)$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x,f(x))$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距.

 

29. (161203) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积, $f(x)geq c>0$, 试证: $ln f(x)$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积.

 

30. (161202) [第七届全国大学生数学竞赛预赛试题] 设 $f(x)$ 是 $bR$ 上有下界或者有上界的连续函数且存在正数 $a$ 使得 $$ex f(x)+aint_{x-1}^x f(t) d t eex$$ 为常数. 求证: $f(x)$ 为常数.

 

 

31. (161201) [湖南师范大学2009数分] 设常数 $0<c<1$, $f(x)$ 在 $x=0$ 点连续, 且 $dps{lim_{x o 0}f{f(x)-f(cx)}{x}=A}$ 存在且有限, 求证: $f(x)$ 在 $x=0$ 点可导, 并证明: $dps{f'(0)=f{A}{1-c}}$.

 

32. (161130) 讨论函数项级数 $dps{vsmk{n}{0}frac{(x^2+x+1)^n}{n(n+1)}}$ 的收敛性和一致收敛性.

 

33. (161129) [湖南师范大学2008数分] 设 $f''(x)$ 在 $(-infty,+infty)$ 上连续, 且对任意 $xin (-infty,+infty)$ 有 $|f(x)|leq M_0$, $|f''(x)|leq M_1$, 证明: $|f'(x)|leq sqrt{2M_0M_1}$.

 

34. (161128) [湖南师范大学2007数分] 设 $f(x)$ 在 $a$ 点处具有直到 $n$ 阶的导数, $f'(a)=f''(a)=cdots=f^{(n-1)}(a)=0$, $f^{(n)}(a) eq 0$, 证明: (1) 当 $n$ 为奇数时, $f(a)$ 不是极值; (2) 当 $n$ 为偶数时, $f(a)$ 是极值, 并指出什么时候是极大值, 什么时候是极小值.

 

35. (161127) [湖南师范大学2012数分] 设 $f(x)$ 在 $[0,+infty)$ 上可导, $f(0)=0$, 当 $xgeq 0$ 时 $|f'(x)|leq |f(x)|$, 求证: 在 $[0,+infty)$ 上 $f(x)equiv 0$.

 

36. (161126) [湖南师范大学2009数分] 求证: (1) 对任一收敛正项级数 $dps{vsm{n}a_n}$, 必存在正项级数 $dps{vsm{n}b_n}$, 满足:$dps{vlm{n}f{a_n}{b_n}=0}$; (2) 对任一通项为正的发散级数 $dps{vsm{n}a_n}$, 必存在发散正项级数 $dps{vsm{n}b_n}$, 满足: $dps{vlm{n}f{b_n}{a_n}=0}$.

 

37. (161125) 设 $bF$ 是一个数域, $M_n(bF)$ 是由所有 $n$ 阶 $bF$ 矩阵在矩阵加法和数乘矩阵之下构成的 $bF$ 向量空间. 设 $V$ 是 $M_n(bF)$ 的一个非零子空间, 且满足 $V$ 中的任何非零矩阵都是可逆矩阵. (1) 举出一个这样的子空间 $V$ 的例子从而说明这样的子空间确实存在. (2) 证明 $V$ 的维数满足: $dim Vleq n$. (答案)

 

38. (161124) 设 $A,B,C$ 均为 $n$ 阶方阵, 适合 $ (AB)= (B)$. 试证: $ (ABC)= (BC)$.

 

39. (161123) 设 $f(x)$ 在 $[al,+infty)$ 上连续, 当 $x o+infty$ 时, $f(x)$ 以直线 $y=ax+b$ 为渐近线, 求证: $f(x)$ 在 $[al,+infty)$ 上一致连续.

 

40. (161122) 设 $D$ 为平面上的有界域, $f(x,y)$ 在 $D$ 上可微, 在 $ar D$ 上连续, 在 $ar D$ 的边界上 $f(x,y)=0$, 且在 $D$ 上满足: $f_x+f_y=f$. 证明: 在 $ar D$ 上 $f(x,y)=0$.

 

41. (161121) 求由 $z=x+y$ 和 $z=x^2+y^2$ 围成的几何体体积.

 

42. (161120) 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导, $f(0)=f(1)$, $dps{int_0^1f(x) d x=0}$, 且对一切 $xin [0,1]$ 都有 $f'(x) eq 1$, 记 $g(x)=f(x)-x$, $ngeq 2$ 为正整数, 求证: (1) $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上严格单调递减; (2) $dps{-f{n}{2}<sum_{k=0}^{n-1} gsex{f{k}{n}}<-f{n}{2}+1}$; (3) $dps{sev{sum_{k=0}^{n-1} fsex{f{k}{n}}}<f{1}{2}}$.

 

43. (161119) [导数介值定理] 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可导, 且 $f'_+(a)cdot f'_-(b)<0$, 则 $exists xiin (a,b),st f'(xi)<0$.

 

44. (161118) [华中师范大学2012高代] 设 $n,k$ 是整数, $n>2$, $1leq kleq n$. 设复数 $om$ 满足 $om^n=1$ 但是 $om^t eq 1$ 对任意 $t=1,cdots,n-1$ (称这样的 $om$ 为 $n$ 次本原单位根). 令 $A=(om^{ij})_{0leq i,jleq n-1}$ 是一个 $n$ 阶方阵. 令 $dps{Asex{i_1cdots i_katop j_1cdots j_k}}$ 是由 $A$ 的 第 $i_1$ 行, $cdots$, 第 $i_k$ 行和第 $j_1$ 列, $cdots$, 第 $j_k$ 列的交叉位置的元素构成的 $k$ 阶子矩阵, 这里 $1leq i_1<cdots<i_kleq n$, $1leq j_1<cdots<j_kleq n$. (1) 证明: 对任意 $1leq kleq n$, $dps{Asex{1cdots katop j_1cdots j_k}}$ 是可逆矩阵. (2) 对任意 $1leq kleq n$, 以及对任意的 $1leq i_1<cdots<i_kleq n$, $1leq j_1<cdots<j_kleq n$, $dps{Asex{i_1cdots i_katop j_1cdots j_k}}$ 一定可逆吗? 如果是, 给出证明; 如果不是, 给出反例.

 

45. (161117) [武汉大学2015数分] 设 $0<al<1$, 求积分 $dps{int_0^1 f(t^al) d t}$ 的上确界, 其中连续函数 $f$ 满足 $$ex int_0^1 |f(t)| d tleq 1. eex$$

 

46. (161116) [南开大学2014数分] 求 $dps{vlm{n}sum_{k=1}^nf{1}{sqrt{k(n-k+1)}}}$.

 

47. (161115) [南开大学2014数分] 求级数 $dps{vsmk{n}{0}f{(-1)^n}{3n+2}}$ 的值.

 

48. (161114) [Abel 定理] 设幂级数 $dps{g(x)=sum_{n=0}^infty a_nx^n}$ 在 $|x|<1$ 内收敛, 且 $dps{sum_{n=0}^infty a_n=s}$ 收敛. 则 $$ex lim_{x o 1^-} g(x)=s. eex$$

 

49. (161113) 设 $bF$ 是一个数域, $A$ 是一个 $n$ 阶 $bF$ 方阵, 这里 $n$ 是大于 $1$ 的正整数. 用 $E_{ij}$ 表示 $(i,j)$ 位置为 $1$ 其余位置为 $0$ 的 $n$ 阶 $bF$ 方阵. 证明以下 3 条等价: (1) $A$ 和所有 $bF$ 方阵相乘可交换; (2) $A$ 和所有可逆 $bF$ 方阵相乘可交换; (3) $A$ 和所有的 $E_{ij}$ (其中 $1leq i,jleq n$ 但是 $i eq j$) 相乘可交换.

 

50. (161112) 试证: $dps{int_0^infty xe^{-xy} d x}$ 在 $(0,infty)$ 内不一致收敛.

 

51. (161111) [江西师范大学2013高数] 使用连续函数的介值定理证明: 对于平面上给定的一个三角形, 在任意方向上都存在一条直线, 能将三角形分成面积相等的两部分.

 

52. (161110) (1) 函数 $u(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 且 $u'(x)$ 绝对可积. 求证: $$ex sup_{xin [0,1]}|u(x)|leq int_0^1|u(x)| d x +int_0^1 |u'(x)| d x. eex$$ (2) 二元函数 $u(x,y)$ 在 $Omega=sed{(x,y);0leq xleq 1, 0leq yleq 1}$ 上连续, 且偏导数 $u_x,u_y,u_{xy}$ 绝对可积. 求证: $$ex sup_{(x,y)in Omega} |u(x)|leq iint_Omega |u| d x d y +iint_Omega |u_x|+|u_y| d x d y +iint_Omega |u_{xy}| d x d y. eex$$

 

53. (161109) [江西师范大学2013高数] 设 $f(x)$ 二次可导, $f(0)=f'(0)=f(1)=0$, 试证: 存在 $xiin (0,1)$, 使得 $f''(xi)+4xi f'(xi)+(4xi^2+2)f(xi)=0$.

 

54. (161108) [湖南师范大学2010数分] 求极限 $$ex lim_{x o 0^+}(sin x)^al int_x^1 f{f(t)}{t^{al+1}} d t, eex$$ 其中 $al>0$, $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的连续函数.

 

55. (161107) [湖南师范大学2016数分] 若广义积分 $dps{int_0^2f{ d x}{|ln x|^p}}$ 收敛, 试求实数 $p$ 的取值范围.

 

56. (161106) [中国科学院2011数分] 设 $sed{a_n}_{ngeq 0}$, $sed{b_n}_{ngeq 0}$, $sed{xi_n}_{ngeq 0}$ 为非负数列, 而且对任意 $kgeq 0$, 有 $$ex a_{k+1}^2leq (a_k+b_k)^2-xi_k^2. eex$$ (1) 证明: $dps{sum_{i=1}^k xi_i^2leq sex{a_1+sum_{i=0}^k b_i}^2}$. (2) 若数列 $sed{b_k}$ 还满足 $dps{sum_{k=0}^infty b_k^2<infty}$, 则 $dps{lim_{k oinfty}frac{1}{k}sum_{i=1}^k xi_i^2=0}$.

 

57. (161105) 证明: $$ex 1leq iint_Omega sin (x^2)+cos(y^2) d x d yleq sqrt{2}, eex$$ 其中 $Omega=sed{(x,y); 0leq xleq 1, 0leq yleq 1}$.

 

58. (161104) [湖南师范大学2010高代] 设 $scrA$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换. 请简略说明一定存在正整数 $m$, 使得 $scrA^{2m}V =scrA^mV$.

 

59. (161103) [湖南师范大学2010高代] 设正整数 $m$ 与 $n$ 为一奇一偶, 请简略地说明此时有: $(x^m+1,x^n+1)=1$.

 

60. (161102) [湖南师范大学2012高代] 设 $m,n$ 是正整数. 证明: $(x^m-1,x^n-1)=x-1$ 当且仅当 $(m,n)=1$.

 

61. (161101) 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵, $b eq 0$ 是 $n$ 维列向量, 适合 $ (A)= (A,b)=r$. 记 $Ax=b$ 的所有解集合为 $S$, 试证: (1) $S$ 中含有 $n-r+1$ 个线性无关的向量 $eta_1,eta_2,cdots,eta_{n-r+1}$; (2) $xi$ 是 $S$ 中元素的充要条件是存在 $k_i (1leq ileq n-r+1)$ 使得 $$ex sum_{i=1}^{n-r+1}k_i=1,quad xi=sum_{i=1}^{n-r+1}k_ieta_i. eex$$

 

62. (161031) 设 $$ex a_0=pi,quad a_1=pi^2,quad a_{n+1}=a_n+f{2a_{n-1}}{n+1} (n=1,2,cdots). eex$$ 试证: $sed{f{a_n}{n^2}}$ 收敛.

 

63. (161030) [湖南师范大学2013高代] 设 $A$ 是实数域 $bR$ 上的 $n$ 阶方阵, 向量 $alinbR^n$ (实数域 $bR$ 上 $n$ 维列空间), 使得 $$ex al,Aal,A^2al,cdots,A^{n-1}al eex$$ 是 $bR^n$ 的一个基. 如果 $bR$ 上的 $n$ 阶方阵 $B$ 满足条件 $AB=BA$. 证明: (1) 存在实数域 $bR$ 上的一个次数不超过 $n-1$ 的多项式 $f(x)$ 使得 $Bal=f(A)al$; (2) 对于 (1) 中 找到的多项式 $f(x)$, 必有 $B=f(A)$.

 

64. (161029) [华中师范大学2009高代] 设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵, $lm_t=r+si$ 是 $A$ 的特征根, 其中 $r,s$ 是实数, $i$ 是虚数单位. (1) 证明: $f{1}{2}(A+A^t)$ 的特征根都是实数; 令 $mu_1leq cdotsleq mu_n$ 是 $f{1}{2}(A+A^t)$ 的全部特征根; (2) 证明: $mu_1leq rleq mu_n$. (3) 你有类似的估计 $s$ 的办法吗?

 

65. (161028) [华中师范大学2009高代] 设 $A$ 是秩为 $r$ 的 $m imes n$ 矩阵, $B$ 是非零的 $m imes 1$ 阶矩阵. 考虑线性方程组 $AX=B$, 其中 $X$ 是变元 $x_1,cdots,x_n$ 的列向量. 证明: (1) 线性方程组 $AX=B$ 的任意有限个解向量 $X_1,cdots,X_k$ 的向量组的秩 $leq n-r+1$. (2) 若线性方程组 $AX=B$ 有解, 则它有 $n-r+1$ 个解向量是线性无关的.

 

66. (161027) 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上 $ earrow$, $f(0)>0$, $f(1)<1$. 试证: $exists x_0in (0,1)$, 使得 $f(x_0)=x_0^2$. (福建师范大学)

 

67. (161026) 设 $$ex a_1>0,quad a_{n+1}=ln(1+a_n) (ngeq 1). eex$$ 试证: $$ex vlm{n}f{n(na_n-2)}{ln n}=f{2}{3}. eex$$

 

68. (161025) 设 $$ex a_1=1,quad a_{n+1}=a_n+frac{1}{a_1+cdots+a_n} (ngeq 1). eex$$ 试证: $$ex vlm{n}frac{a_n}{sqrt{2ln n}}=1. eex$$

 

69. (161024) 设 $A$ 是 $n$ 阶半正定矩阵, 试证: $$ex a_{ii}=0 a a_{kl}=0, k=imbox{ 或 } l=i. eex$$ 这即说明: 若半正定矩阵某对角元为 $0$, 则其所在的行与列中的元素均为 $0$. (link)

 

70. (161023) 设 $$ex l_i=c_{i1}x_1+c_{i2}x_2+cdots+c_{in}x_n,quad i=1,2,cdots,p+q, eex$$ 这里 $c_{ij}inbR$. 试证明实二次型 $$ex f(x_1,x_2,cdots,x_n) =l_1^2+l_2^2+cdots+l_p^2 -l_{p+1}^2-cdots-l_{p+q}^2 eex$$ 的正惯性指数 $leq p$, 负惯性指数 $leq q$. (link)

 

71. (161022) $$eelabel{161022:goal} sen{ f}_{L^4(bR^2)} lesssim sen{vLm^al f}_{L^2} ^frac{2al+1}{4} sen{vLm^al ^2f}_{L^2} ^frac{3-2al}{4}, eee$$ where $$ex 1<alleq frac{3}{2},quad vLm=(-lap)^{frac{1}{2}}. eex$$ Indeed, $$eex ea sen{ f}_{L^4} &lesssim sen{ f}_{L^frac{2}{2-al}}^{1- t} sen{ ^al ^2f}_{L^2}^ t\ &quadsex{ t=frac{3-2al}{4} mbox{ by Gagliardo-Nirenberg inequality}}\ &lesssim sen{vLm^al f}_{L^2}^{1- t} sen{vLm^al ^2f}_{L^2}^ tquadsex{mbox{by Sobolev inequality}}. eea eeex$$

 

72. (161021) 对于实数域 $bR$ 上的 $n^2$ 维线性空间 $V=bR^{n imes n}$, 定义 $V$ 上的二元函数 $$ex sef{cdot,cdot}: (P,Q)mapsto r(P^tQ),quad forall P,Qin V. eex$$ 并记 $|P|^2=sef{P,P}$. 试证: (1) $V$ 关于 $sef{cdot,cdot}$ 成为一个欧氏空间; (2) $$ex sef{P,Q}leq sev{frac{P+Q}{2}}^2,quad forall P,Qin V. eex$$

 

73. (161020) (1) 设 $m imes n$ 矩阵 $A$ 的秩为 $r$, 任取 $A$ 的 $r$ 个线性无关的行向量, 再取 $A$ 的 $r$ 个线性无关的列向量, 试证它们对应的行列构成的 $r$ 阶子式不为零. (link) (2) 设对称矩阵 $A$ 的秩为 $r$, 试证: $A$ 有一个非零的 $r$ 阶主子式.

 

74. (161019) 多项式 $$ex f(x)=f_0(x^n)+xf_1(x^n)+cdots+x^{n-1}f_{n-1}(x^n), eex$$ 且 $x^{n-1}+x^{n-2}+cdots+x+1mid f(x)$. 求证: $f(1)=0$. [(感谢 93zixufeng@sina.com 告知我此题有问题, 当 $f_0,f_1,cdots,f_{n-1}$ 都是相等的非零常数时, 结论不成立!)]

 

75. (161018) 设 $A,B,C$ 均为 $n$ 阶方阵. (1) 证明 $dps{sexm{ A&A\ C-B&C }}$ 可逆的充要条件是 $AB$ 可逆; (2) 若 $dps{sexm{ A&A\ C-B&C }}$ 可逆, 求出 $dps{sexm{ A&A\ C-B&C }}$ 的逆.

 

76. (161017) 设 $h(t)$ 是 $[0,T)$ 上的连续函数, 适合 $$ex lim_{t o T^-}h(t)=+infty. eex$$ 再设 $$ex H(t)=max_{0leq sleq t}h(s),quad 0leq s<T. eex$$ 试证: $$ex exists t_k earrow T,st h(t_k)=H(t_k) earrow +infty. eex$$

 

77. (161016) 试求 $$ex prod_{n=2}^inftyfrac{n^3-1}{n^3+1}. eex$$

 

78. (161015) 设 $$ex a_ngeq 0, (ninbZ_+);quad A_n=sum_{k=0}^n a_k. eex$$ 再设 $$ex vlm{n}A_n=+infty,quad vlm{n}frac{a_n}{A_n}=0. eex$$ 试证: 级数 $dps{vsmk{n}{0}a_nx^n}$ 的收敛半径 $r=1$.

 

79. (161014) 试证: 当 $0<x<1$ 时, $$ex sqrt{frac{1-x}{1+x}}<frac{ln (1+x)}{arcsin x}. eex$$

 

80. (161013) 试求 $$ex lim_{x o0}frac{sin an x- an sin x}{ arcsin arctan x-arctan arcsin x }. eex$$

 

81. (161012) 已知函数 $dps{f(x)=(1+x)^frac{1}{x}}$, 计算 $f^{(i)}(x)$, $i=1,2,3$.

 

82. (161011) 这段时间一直在看 [Gallay Thierry, Vladimir Sverak, Remarks on the Cauchy problem for the axisymmetric Navier-Stokes equations, arXiv preprint arXiv:1510.01036 (2015)]. 一两个礼拜了. 那个 Proposition 2.4 终于验算完毕 (也确实得到了作者给出的条件, 不过确实过程复杂, 写出来也乱). 总结下教训: 开始没注意到 (28) 最前面有个系数 $r^al/ar r^e$; 后来又没注意到不同 cases 时在 ``$xi^e F'(xi)$ 有界'' 所选取的 $e$ 不同; 最后在不同 cases 时, 如何估计又失算了, 少算了一两个可能情形. 如此耗费时间...问作者又没丝毫回应. 不过现在也好了.

 

83. (161010) 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导, 且 $f(0)=0$, $f(1)=1$. 试证: 在 $(0,1)$ 内存在不同的 $lm$, $mu$ 使得 $f'(lm)[f'(mu)+1]=2$.

 

84. (161009) A strong solution (by which we mean $buin L^infty(0,T;H^1(bR^3))cap L^2(0,T;H^2(bR^3))$) is in fact smooth. This is a classical result, and can be located in many references. Here, we refer to Page 870--871 of the following paper: Chen, Qionglei; Miao, Changxing; Zhang, Zhifei. The Beale-Kato-Majda criterion for the 3D magneto-hydrodynamics equations. Comm. Math. Phys. 275 (2007), no. 3, 861--872.

 

85. (161008) 试求 $$ex int_0^{infty} frac{ d x}{(1+x^6)^2}. eex$$

 

86. (161007) 设 $$ex A=sexm{ 1&0&0\ 1&0&1\ 0&1&0 }, eex$$ 试证: 当 $ngeq 3$ 时, $A^n=A^{n-2}+A^2-E$, 并计算 $A^{100}$.

 

87. (161006) 证明: 当 $lm<1$ 时, $$ex lim_{R o+infty} R^lmint_0^{pi/2} e^{-Rsin t} d t=0. eex$$

 

88. (161005) 设 $M$ 为自然数集, 试给出 $M$ 的两个双射变换 $sigma, au$ 使得 $sigma au eq ausigma$.

 

89. (161004) 设 $fin C^2[0,1]$ 适合 $f(0)=f(1)=0$, $f otequiv 0$. 试证: $$ex |f(x)|leq frac{1}{4}int_0^1 |f''(x)| d x,quad forall xin [0,1]. eex$$

 

90. (161003) 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导, 且 $$ex lim_{x o 0}frac{f(x)}{x^2}mbox{ 存在,}quad int_0^1 f(x) d x=f(1). eex$$ 试证: 存在 $xiin (0,1)$, 使得 $f''(xi)+2xi f'(xi)=0$.

 

91. (161002) 试求 $$ex int_0^{frac{pi}{2}}frac{x^2}{sin^2x} d x. eex$$

 

92. (161001) 设 $A=(a_{ij})$, 且定义 $$ex _A f(A)=sex{cfrac{p f}{p a_{ij}}}. eex$$ 试证: (1) $ _A r (AB)=B^t$; (2) $ _A r(ABA^tC)=CAB+C^tAB^t$.

 

93. (160930) 已知函数 $f(x)=ln x-ax$, 其中 $a$ 为常数. 如果 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$. 试证: $x_1x_2>e^2$.

 

94. (160929) 设 $f$ 在 $D=sed{zinbC; |z|leq 1}$ 上除点 $z_0in D$ 外处处解析, 且满足 (1) 在 $D$ 内 $f$ 没有零点; (2) $zin p D a f(z)in p D$; (3) $z_0$ 是 $f$ 的一阶极点. 试证: $$ex exists tin bR,st f(z)=e^{i t}frac{1-ar z_0z}{z-z_0}. eex$$

 

95. (160928) 设 $f(r,z):Omega=(0,infty) imes bR o bR$ 适合 $$ex r^3fin L^1(Omega),quad rfin L^1(Omega),quad fin L^infty(Omega). eex$$ 试证: $$ex int_bR d z int_1^infty |f|frac{r^3}{(r^2+z^2)^frac{3}{2}} d r lesssim sen{r^3f}_{L^1(Omega)}^frac{1}{4} sen{rf}_{L^1(Omega)}^frac{1}{4} sen{f}_{L^infty(Omega)}^frac{1}{2}. eex$$

 

96. (160927) 试证: $$ex int_0^{2pi} frac{cos phi d phi}{sqrt{2(1-cosphi)+s}} =2int_0^pi frac{cosphi d phi}{sqrt{2(1-cosphi)+s}},quad s>0. eex$$

 

97. (160926) 设 $f:bR^2 obR$ 适合 $fin L^1(bR^2)cap L^infty(bR^2)$, 再设 $K:bR^2 obR$ 适合 $$ex exists C>0, exists x_0inbR^2,st |K(x)|leq frac{C}{|x-x_0|},quadforall xinbR^2. eex$$ 试证: $$ex sev{int_{bR^2}K(x)f(x) d x} leq 2sqrt{2pi}sen{f}_{L^1(bR^2)}^frac{1}{2} sen{f}_{L^infty(bR^2)}^frac{1}{2}. eex$$

 

98. (160925) 试求 $dps{ int sqrt{1+cos x} d x. }$

 

99. (160924) 设 $f(x,y,z)=f(r,z):bR^3 o bR$ ($r=sqrt{x^2+y^2}$) 适合 $dps{lim_{r^2+z^2 o infty}f(r,z)=0}$, $$ex r fin L^1(bR^3),quad frac{ f}{r}in L^1(bR^3),quad frac{ f}{r}in L^infty(bR^3). eex$$ 试证: $$ex sen{f}_{L^infty(bR^3)} leq sqrt{2} sen{r f}_{L^1(bR^3)}^frac{1}{4} sen{frac{ f}{r}}_{L^1(bR^3)}^frac{1}{4} sen{frac{ f}{r}}_{L^infty(bR^3)}^frac{1}{2}. eex$$

 

100. (160923) 设 $f(x,y,z):bR^3 o bR$ 适合 $$ex rfin L^1(bR^3),quadfrac{f}{r}in L^1(bR^3),quad frac{f}{r}in L^1(bR^3), eex$$ 其中 $r=sqrt{x^2+y^2}$. 试证: 对 $1leq pleq 2$, 有 $$ex sen{f}_{L^p(bR^3)} leq sen{rf}_{L^1(bR^3)}^frac{1}{2} sen{frac{f}{r}}_{L^1(bR^3)}^{frac{1}{p}-frac{1}{2}} sen{frac{f}{r}}_{L^infty(bR^3)}^{1-frac{1}{p}}. eex$$

 

101. (160922) 设方程 $sin x-xcos x=0$ 在 $(0,+infty)$ 中的第 $n$ 个解为 $x_n$. 证明: $$ex npi+frac{pi}{2}-frac{1}{npi} <x_n<npi+frac{pi}{2}. eex$$

 

102. (160921) 求 $int_vGa y^2 d s$, 其中 $vGa$ 由 $dps{sedd{a{rl} x^2+y^2+z^2&=a^2\ x+z&=a ea}}$ 决定.

 

103. (160920) 设 $f$ 是 $[1,infty)$ 上的非负单调减少函数, 令 $$ex a_n=sum_{k=1}^n f(k)-int_1^n f(x) d x,quad n=1,2,cdots. eex$$ 试证: 数列 $sed{a_n}$ 收敛.

 

104. (160919) 对 $ainbR$, 试证: $$ex vlm{n}prod_{k=1}^{n+1} cos sex{frac{sqrt{2k-1}}{n}a^2} =e^{-frac{a^4}{2}}.eex$$

 

105. (160918) 试求 $$ex vlm{n}sum_{k=1}^nfrac{sin frac{kpi}{n}}{n+frac{1}{k}}. eex$$

 

106. (160917) 设函数 $f,gin C[a,b]$ 适合 $f(x) otequiv 0$, $g>0$. 记 $$ex d_n=int_a^b |f(x)|^ng(x) d x,quad n=1,2,cdots. eex$$ 试证: 数列 $dps{sed{frac{d_{n+1}}{d_n}}}$ 收敛, 并求出其极限.

 

107. (160916) 设 $fin C^{2n}[a,b]$ 适合 $f^{(k)}(a)=f^{(k)}(b)=0$, $k=0,1,2,cdots,n-1$. 试证: $$ex sev{int_a^b f(x) d x} leq frac{(n!)^2(b-a)^{2n+1}}{(2n)!(2n+1)!} max_{xin [a,b]}|f^{(2n)}(x)|. eex$$

 

108. (160915) 设 $fin C[0,1]$ 适合 $0leq f<1$, 试证: $$ex int_0^1 frac{f(x)}{1-f(x)} d x geq frac{int_0^1 f(x) d x}{1-int_0^1 f(x) d x}. eex$$

 

109. (160914) 设 $[a,b]$ 上的函数 $f,g$ 适合 $$ex [f(x)-f(y)]cdot [g(x)-g(y)]geq 0,quadforall x,yin [a,b]. eex$$ 又设 $0<pincalR[a,b]$, 试证: $$eex ea &quadint_a^b p(x)f(x) d xcdot int_a^b p(x)g(x) d x \ &leq int_a^b p(x) d x cdot int_a^b p(x)f(x)g(x) d x. eea eeex$$

 

110. (160913) 设 $0<Fin C[a,b]$ 单调减少, 试证: $$ex int_a^b F(x) d xcdot int_a^b xF^2(x) d x leq int_a^b F^2(x) d xcdot int_a^b xF(x) d x. eex$$

 

111. (160912) 平面上的两个互不相交的闭集的距离一定大于零么?

 

112. (160911) 试举一个拓扑空间 $X$, 其有一子集 $Y$, 是有界闭的, 但不是紧致的.

 

113. (160910) 试举一个不满足 $A_1$ 公理 ($A_2$ 公理) 的拓扑空间.

 

114. (160909) 设 $Mgeq 1$ 是一正数, $mu$ 是一个概率测度, 试证: 对 $0leq fleq M$, 有 $$ex sev{ln int f d mu-int ln f d mu} leq frac{Msen{g}_{L^2}}{sen{f}_{L^1}}, eex$$ 其中 $g=ln f-int ln f d mu$.

 

115. (160908) 设 $f$ 是 $bR$ 上的非负函数, 适合 $$ex int_{bR} f(x) d x=1,quad int_{bR}xf(x) d x=0,quad int_{bR}x^2f(x) d x=1. eex$$ 试证: $$ex x>0 a int_{-infty}^x f(t) d tgeq frac{x^2}{1+x^2}, eex$$ $$ex x<0 a int_{-infty}^x f(t) d tleq frac{1}{1+x^2}. eex$$

 

116. (160907) 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上可积, 且有 $0<mleq f(x)leq M$, 试证: $dps{ int_0^1 f(x) d xcdot int_0^1 frac{1}{f(x)} d xleq frac{(m+M)^2}{4mM}. }$

 

117. (160906) 试证: 函数 $$ex f(x)=e^frac{x^2}{2}int_x^infty e^{-frac{t^2}{2}} d t eex$$ 在 $x>0$ 时严格单调减少, 且成立 $$ex frac{x}{x^2+1}<f(x)<frac{1}{x}. eex$$

 

118. (160905) 设 $dps{f(x)=frac{1+xe^x}{1+x}}$, 试求 $f^{(5)}(0)$.

 

119. (160904) 试求 $$ex int frac{1-x^2cos x}{(1+xsin x)^2} d x. eex$$

 

120. (160903) 设 $sed{a_n},sed{b_n}$ 为数列且 $sed{a_n}$ 收敛, 则 $$ex vls{n}(a_n+b_n)=vlm{n}a_n+vls{n}b_n, eex$$ $$ex vli{n}(a_n+b_n)=vlm{n}a_n+vli{n}b_n. eex$$

 

121. (160902) 设正数列 $sed{a_n}$ 适合 $$ex vls{n}a_n cdot vls{n}frac{1}{a_n}=1, eex$$ 试证: $sed{a_n}$ 收敛.

 

122. (160901) 试证: 对正数列 $sed{a_n}$ 有 $$ex vli{n}frac{1}{a_n}=frac{1}{vls{n}a_n},quad vls{n}frac{1}{a_n}=frac{1}{vli{n}a_n}. eex$$

 

123. (160831) 定义数列 $sed{a_n}$ 的上下极限分别为 $$ex vls{n}a_n=inf_{ngeq 1}sup_{kgeq n} a_k,quad vli{n}a_n=sup_{ngeq 1}inf_{kgeq n} a_k. eex$$ 试证: $sed{a_n}$ 收敛的充要条件为 $dps{vls{n}a_n=vli{n}a_n}$, 且当极限存在时, $$ex vlm{n}a_n=vls{n}a_n=vli{n}a_n. eex$$

 

124. (160830) 试求 $$ex vlm{n}(n+1+ncos n)^frac{1}{2n+nsin n}. eex$$

 

125. (160829) 设 $$ex vlm{n}frac{n^{2016}}{n^x-(n-1)^x}=2017, eex$$ 试求 $x$.

 

126. (160828) 设 $alin (0,1)$, 试求 $$ex vlm{n}[(n+1)^al-n^al]. eex$$

 

127. (160827) 试证: $sed{cos n;ninbN}$ 在 $[-1,1]$ 上稠密.

 

128. (160826) 设 $al$ 是无理数, 试证: $$ex A=sed{m+nal;m,ninbZ} eex$$ 在 $bR$ 中稠密, 也即: 任何一个开区间至少含有 $A$ 中一元.

 

129. (160825) 试证: 对任意无理数 $al$ 和任意正整数 $n$, 都存在正整数 $q_n$ 和整数 $p_n$ 使得 $$ex sev{al-frac{p_n}{q_n}}<frac{1}{nq_n},quad sev{al-frac{p_n}{q_n}}<frac{1}{q_n^2}. eex$$

 

130. (160824) 计算曲线 $$ex (x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2),quad x^2+y^2geq a^2 eex$$ 所围成的面积.

 

131. (160823) 证明恒等式 $$ex sez{x^{n-1}fsex{frac{1}{x}}}^{(n)} =frac{(-1)^n}{x^{n+1}}f^{(n)}sex{frac{1}{x}}. eex$$ (link)