(170501) 证明: 当 $m<2$ 时, $dps{lim_{x o 0^+}frac{1}{x^m}int_0^x sin frac{1}{t} d t=0}$.
(170502) 证明: 当 $lm<1$ 时, $dps{lim_{R o+infty} R^lmint_0^{pi/2} e^{-Rsin t} d t=0}$.
(170503) 计算以下渐近等式 $$ex int_0^1 frac{x^{n-1}}{1+x} d x=frac{a}{n}+frac{b}{n^2}+osex{frac{1}{n^2}}quad(n oinfty) eex$$ 中的待定常数 $a,b$.
(170504) 设非负严格增加函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续, 有积分中值定理, 对于每个 $p>0$ 存在唯一的 $x_pin (a,b)$, 使 $$ex f^p(x_p)=frac{1}{b-a}int_a^b f^p(t) d t. eex$$ 试求 $dps{vlm{p}x_p}$.
(170505) 设 $fin C[0,+infty)$, $a$ 为实数, 且存在有限极限 $$ex vlm{x}sez{f(x)+aint_0^x f(t) d t}. eex$$ 证明; $f(+infty)=0$.
(170506) $$ex sum_{|al|leq m}sen{D^al (fg)-(D^al f)g}_{L^2} leq Csex{sen{f}_{L^infty}sen{g}_{H^m}+sen{f}_{H^{m-1}}sen{ g}_{L^infty}}. eex$$
(170507) Assume that $a$ is a positive constant, $x(t),y(t)$ are two nonnegative $C^1(bR^+)$ functions, and $D(t)$ is a nonnegative function, satisfying $$ex frac{ d}{ d t} (x^2+y^2)+D leq a(x^2+y^2+x+y)D. eex$$ If additionally, the initial data satisfy $$ex x^2(0)+y^2(0)+sqrt{2(x^2(0)+y^2(0))}<frac{1}{a}, eex$$ then, for any $t>0$, one has $$ex x^2(t)+y^2(t)+x(t)+y(t)<x^2(0)+y^2(0)+sqrt{2(x^2(0)+y^2(0))}<frac{1}{a}. eex$$
(170508) For $fin H^s(bR^3)$ with $s>frac{3}{2}$, we have $$ex sen{f}_{L^infty}leq Csex{1+sen{f}_{dot B^0_{infty,infty}}}ln sex{1+sen{f}_{H^s}},quad s>frac{3}{2}. eex$$
(170509) $$ex ( imesbb) imesbb=- frac{|bb|^2}{2}+(bbcdot )bb. eex$$
(170510) 设 $x eq 0$, 矩阵 $$ex A=sexm{ 1&frac{x}{n}\ -frac{x}{n}&1}. eex$$ 计算 $dps{lim_{x o 0}vlm{n}(A^n-E)}$.
(170511) 设 $f(x)=x^2ln(x+1)$, 求 $f^{(n)}(0)$.
(170512) 证明不等式: $$ex 1+xlnsex{x+sqrt{1+x^2}}>sqrt{1+x^2},quad x>0. eex$$
(170513) 设数列 $sed{x_n}$ 满足 $0<x_1<pi$, $x_{n+1}=sin x_n (n=1,2,cdots)$. (1) 证明 $dps{vlm{n}x_n}$ 存在, 并求其极限; (2) 计算 $dps{vlm{n}sex{frac{x_{n+1}}{x_n}}^{frac{1}{x_n^2}}}$; (3) 证明 $dps{vlm{n}sqrt{frac{n}{3}}x_n=1}$.
(170514) 设 $f(x)$ 在 $bR$ 上连续, 又 $$ex phi(x)=f(x)int_0^x f(t) d t eex$$ 单调递减. 证明: $fequiv 0$.
(170515) 设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵, 其正负惯性指数分别是 $p,q$. 再设 $$ex f(x)=x^tAx,quad N_f=sed{xinbR^n;f(x)=0}. eex$$ 证明: (1) 包含于 $N_f$ 的线性空间的维数至多是 $n-maxsed{p,q}$; (2) 若 $W$ 是 $bR^n$ 的一个线性子空间, 将二次型限定在 $W$ 中得到正负惯性指数分别是 $p_1,q_1$, 则有 $p_1leq p$, $q_1leq q$.
(170516) 在 [Yosida, Kōsaku. Functional analysis. Reprint of the sixth (1980) edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1995] 第 126-127 页给出了一致凸 Banach 空间的定义: 若 Banach 空间 $X$ 满足 $$ex forall ve>0, exists del=del(ve)>0,st \ sen{x}leq 1, sen{y}leq 1, sen{x-y}geq ve a sen{x+y}leq 2(1-del). eex$$ 则称 $X$ 是一致凸的 Banach 空间. 试证: 若 $sed{x_n},sed{y_n}subset X$ 满足 $$ex vlm{n}sen{x_n}=vlm{n}sen{y_n}=1,quad sen{x_n-y_n}geq ve'>0, eex$$ 则 $$ex vls{n}sen{x_n+y_n}<2. eex$$
(170517) 设 $V$ 是有理数域 $bQ$ 上的三维线性空间, $scrA: V o V$ 是一个线性变换. 已知 $al_1,al_2,al_3in V (al_1 eq 0)$ 满足 $$ex scrAal_1=al_2,quad scrAal_2=al_3,quad scrAal_3=al_1+al_2. eex$$ 证明: 向量组 $al_1,al_2,al_3$ 是 $V$ 的一组基.
(170518) 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导, 且 $f(0)=f(1)=0$, $fsex{frac{1}{2}}=1$. 证明: 对于任意的实数 $lm$, 一定存在 $xiin (0,1)$, 使得 $$ex f'(xi)-lm f(xi)+lm f(xi)=1. eex$$
(170519) 函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调减, 证明: 对于任何 $alin (0,1)$, $$ex int_0^al f(x) d xgeq al int_0^1 f(x) d x. eex$$
(170520) 设 $a_n>0$, $S_n=a_1+a_2+cdots+a_n$, 级数 $dps{vsm{n}a_n}$ 发散, 证明: $dps{vsm{n}frac{a_n}{S_n}}$ 发散.
(170521) 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一阶连续可导, $f(a)=0$. 证明: $$ex int_a^b f^2(x) d xleq frac{(b-a)^2}{2}int_a^b [f'(x)]^2 d x -frac{1}{2}int_a^b [f'(x)]^2 (x-a)^2 d x. eex$$
(170522) 设 $f(x)$ 二阶连续可导, $f(0)=f(1)=0$, $dps{max_{0leq xleq 1}f(x)=2}$. 证明: $$ex min_{0leq xleq 1}f''(x)leq -16. eex$$
(170523) 试证: $$int^infty_0 frac{ d u}{1+u^4}=frac{pi}{2sqrt{2}}.$$
(170524) 设 $A$ 是 $n$ 阶 Hermite 矩阵, 即 $A^*equiv ar A^T=A$. 试证: (1) $al^*AalinbR$, $forall alinbC^n$; (2) $A$ 的特征值均为实数; (3) $sen{(Apm i E)al}^2 =sen{Aal}^2+sen{al}^2, forall alinbC^n$; (4) $Apm i E$ 可逆; (5) $B=(A-i E)(A+i E)^{-1}$ 是酉矩阵, 即 $B^*B=BB^*$; (6) $E-B$ 可逆; (7) $A=i (E+B)(E-B)^{-1}$.
(170525) 设 $B$ 是 $n$ 阶酉矩阵, 满足 $ (E-B)=n$. 试证: 存在唯一的 $n$ 阶 Hermite 矩阵 $A$ 使得 $(A-i E)(A+i E)^{-1}=B$.
(170526) 试证: $$ex f{x^f{1}{ln 2}ln sex{1+f{1}{x}}}{ln (1+x)}>1,quad x>1. eex$$
(170527) 设 $f$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数, 满足 $$ex ar D^+f(x)=varlimsup_{y o x^+}f{f(y)-f(x)}{y-x}geq 0, aleq xleq b. eex$$ 试证: $f(a)leq f(b)$.
(170528) 在实数空间 $bR$ 中给定如下等价关系: $$ex xsim ylra x,yin (-infty,1)mbox{ 或者 } x,yin [1,2)mbox{ 或者 }x,yin [2,+infty). eex$$ 设在这个等价关系下得到的商集 $Y=sed{[-2],[1],[2]}$, 试写出 $Y$ 的商拓扑.
(170529) 域 $bF$ 上的矩阵 $A$ 称为幂等矩阵, 如果 $A^2=A$. 试证: 若 $A$ 幂等, 则 $A$ 可对角化, 且 $ (A)= r (A)$.
(170530) [兰州大学2013高代] 设 $bF$ 是一个数域, $V=bF^{n imes n}$ 是 $bF$ 上所有 $n$ 级矩阵构成的 $bF$ 上的线性空间, $f$ 是 $V$ 上的线性变换, 证明: 若 $f$ 保持矩阵的乘法运算, 即对任意 $A,Bin V$, $$ex f(AB)=f(A)cdot f(B). eex$$ 则存在 $n$ 级可逆矩阵 $Q$ 使得对任意 $Xin V$, 有 $f(X)=Q^{-1}XQ$.
(170531) $$ex imes(ba imesbb)=(bbcdot )ba -(bacdot )bb+ba( cdotbb)-bb( cdotba). eex$$ see [李大潜, 秦铁虎, 物理学与偏微分方程 (第二版) 上册, 北京: 高等教育出版社, 2005 年] 第 163 页.