(171218) [中山大学2018数分] 证明 $dps{vsm{n} f{1}{n^2+1} <f{1}{2}+f{pi}{4}}$.
(171223) [华南理工大学2010数分] 讨论函数 $f(x,y)=(1+e^y)cos y-ye^y$ 的极大值与极小值.
(171225) [中山大学2018数分] 讨论级数 $dps{sum_{n=2}^infty f{(-1)^n}{sqrt{n}+(-1)^n}}$ 的敛散性.
(171227) [中山大学2018数分] 求幂级数 $dps{vsm{n}sex{1+f{1}{2}+cdots+f{1}{n}}x^n}$ 的收敛域.
(171228) [中山大学2018数分] 函数 $dps{f(x)=xsin x^f{1}{4}}$ 在 $[0,+infty)$ 上是否一致连续? 试说明理由.
(171229) [中山大学2018数分] 讨论函数项级数 $dps{sum_{n=2}^inftyf{x^n}{nln n}}$ 在 $[0,1)$ 上的一致收敛性.
(171230) [中山大学2018数分] 设 $f: bR obR$ 连续, $dps{f_n(x)=f{1}{n}sum_{k=0}^{n-1} fsex{x+f{k}{n}}}$, 证明 $f_n(x)$ 在任意区间 $(a,b)$ 上一致收敛. 又问, $f_n(x)$ 在 $(-infty,+infty)$ 上也一定一致收敛吗? 若否, 举出反例.
(171231) [中山大学2018高代] 设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵, 满足条件 $AB-BA=A$, 判断 $A$ 是否可逆, 并说明你的理由.
(180101) (1) 设 $n$ 阶实对称矩阵 $A=(a_{ij})$ 正定, 证明 $det Aleq a_{11}cdots a_{nn}$; (2) 设 $B,D$ 分别为 $n$ 阶, $m$ 阶实方阵, 且实矩阵 $dps{H=sexm{ B&C\ C^T&D}}$ 正定, 证明: $det Hleq det Bcdot det D$.
(180102) [华南理工大学2010数分] 设 $p$ 为正常数, 函数 $f(x)=cossex{x^p}$. 证明: 当 $0<pleq1$ 时, $f(x)$ 在 $[0,infty)$ 上一致连续.
(180103) [华南理工大学2010数分] 证明 $dps{int_a^b e^{-xy} d y=frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}}$, 并计算积分 $dps{int_0^infty frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x} d x sex{b>a>0}}$.
(180104) [华南理工大学2010数分] 令 $dps{f(x,y)=left{a{cc} frac{ln(1+xy)}{x},&x eq 0,\ y,&x=0. ea ight.}$ 证明 $f(x,y)$ 在其定义域内是连续的.
(180105) [华南理工大学2010数分] 求积分 $$ex I=iint_Dsex{sqrt{frac{x-c}{a}}+sqrt{frac{y-c}{b}}} d x d y,eex$$ 其中 $D$ 由曲线 $dps{sqrt{frac{x-c}{a}}+sqrt{frac{y-c}{b}}=1}$ 和 $x=c$, $y=c$ 所围成.
(180106) [华南理工大学2010数分] 设 $f$ 为定义在 $(a,infty)$ 上的函数, 在每一有限区间 $(a,b)$ 上有界, 且 $$ex lim_{x oinfty}sez{f(x+1)-f(x)}=A.eex$$ 证明: $dps{lim_{x o infty}frac{f(x)}{x}=A}$.
(180107) [华南理工大学2010数分] 设 $f(x)$, $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续. 证明: $$ex lim_{lambda(Delta) o 0} sum_{i=1}^nf(xi_i)g( heta_i)lap x_i =int_a^bf(x)g(x) d x,eex$$ 其中 $lap: a=x_0<x_1<cdots<x_n=b$ 为 $[a,b]$ 的任一分割; $xi_i, heta_iin [x_i,x_{i+1}]$, $lap x_i=x_i-x_{i-1}$ $(i=1,2,cdots, n)$; $dps{lambdasex{lap}=max_{1leq ileq n}sev{lap x_i}}$.
(180108) [华南理工大学2010高代] 设 $m,nin bN$. 证明: $dps{sex{x^m-1,x^n-1}=x^{(m,n)}-1}$.
(180109) [华南理工大学2010高代] 当 $a,b$ 为何值时, 下列线性方程组无解,有唯一解, 有无穷多解? 当方程组有解时, 写出其全部解. $$ex left{a{lll} x+y-z=0,\ 2x+(a+3)y-3z=3,\ -2x+(a-1)y+bz=-1. ea ight.eex$$
(180110) [华南理工大学2010高代] 设 $V$ 是 $n$ 维线性空间 $(ngeq 3)$, 又设 $X$ 和 $Y$ 是 $V$ 的两个子空间, 并且 $dim(X)=n-1$, $dim(Y)=n-2$. (1) 证明: $dimsex{Xcap Y}=n-2mbox{ or }n-3$. (2) 证明: $dimsex{Xcap Y}=n-2lra Ysubset X$. (3) 举例说明: 存在满足假设条件的线性空间 $V$ 及其子空间 $X$ 和 $Y$ 使得 $dimsex{Xcap Y}=n-2mbox{ or }n-3$.
(180111) [华南理工大学2010高代] 设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵, 若 $A$ 的前 $n-1$ 个顺序主子式均大于零, 而 $det(A)=0$. 证明: $n$ 元二次型 $dps{ f(x_1,x_2,cdots,x_n)=x^TAx }$ 是半正定的, 其中 $x=(x_1,x_2,cdots,x_n)^T$.
(180112) [华南理工大学2010高代] 设 $scrA $ 是实数域 $bR$ 的线性空间 $V$ 的线性变换, $scrA ^2=scrE$ (恒等变换). 令 $$ex V^+=sed{xin V; scrA x=x}, V^-=sed{xin V; scrA x=-x}.eex$$ 证明: $V=V^+oplus V^-$.
(180113) [华南理工大学2010高代] 设 $A=(a_1,a_2,cdots,a_n)$ 为非零实 $1 imes n$ 矩阵. 求 (1) $ ank(A^TA)$; (2) $A^TA$ 的特征值与特征向量.
(180114) [华南理工大学2010高代] 设 $alpha$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的非零向量, 对 $xiin V$, 定义 $dps{ scrAxi=xi-frac{2(xi,alpha)}{(alpha,alpha)}alpha, xiin V. }$ (1) 证明: $scrA$ 是 $V$ 的正交变换. (2) 记 $W=spansed{alpha}^perp$, 则 $W$ 是 $(n-1)$ 维子空间, 并且 $dps{ scrAxi=left{a{ll} xi,&xiin W,\ -xi,&xi=alpha. ea ight. }$ (3) 设 $dim(V)=4$. 令 $ve_1,ve_2,ve_3,ve_4$ 为 $V$ 的标准正交基, 并设 $dps{ alpha=-frac{1}{2}ve_1-frac{1}{2}ve_2 -frac{1}{2}ve_3+frac{1}{2}ve_4. }$ 求 $scrA$ 在 $ve_1,ve_2,ve_3,ve_4$ 下的矩阵.
(180115) [华南理工大学2010高代] 在欧氏空间中有两组向量 $dps{ alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_s; eta_1,eta_2,cdots,eta_s. }$ 如果 (1) $alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_s$ 和 $eta_1,eta_2,cdots,eta_s$ 都是两两正交的单位向量; (2) $spansed{alpha_1,cdots,alpha_i} =spansed{eta_1,cdots,eta_i}$, $forall 1leq ileq s$. 证明: $alpha_i=pm eta_i$, $forall 1leq ileq n$.
(180116) [华南理工大学2010高代] 设 $A,B$ 都是实对称矩阵. 证明: $$ex AB=BAlra existsmbox{ 正交阵 } Q, st Q^{-1}AQ, Q^{-1}BQ mbox{ 同时为对角阵}.eex$$
(180117) [华南理工大学2009数分] 设函数 $f(x)=varphi(a+bx)-varphi(a-bx)$, 其中 $varphi(x)$ 在 $x=a$ 的某个小邻域有定义且在该点处可导. 求 $f'(0)$.
(180118) [华南理工大学2009数分] 设 $0<x<y<pi$. 证明: $dps{ xsin x+2cos x+pi x <ysin y+2cos y+pi y. }$
(180119) [华南理工大学2009数分] 设 $x>0, y>0$. 求 $f(x,y)=x^2ysex{4-x-y}$ 的极值.
(180120) [华南理工大学2009数分] 设 $dps{f(x)=frac{ int_0^x duint_0^{u^2}arctan(1+t) d t }{x(1-cos x)}}$. 求 $dps{lim_{x o 0}f(x)}$.
(180121) [华南理工大学2009数分] 计算 $dps{oint_Cx d y-y d x}$, 其中 $C$ 为椭圆 $(x+2y)^2+(3x+2y)^2=1$, 方向为逆时针方向.
(180122) [华南理工大学2009数分] 计算 $dps{iint_S (x-y) d x d y+x(y-z) d y d z}$, 其中 $S$ 为柱面 $x^2+y^2=1$ 及平面 $z=0$, $z=3$ 所围成的空间区域 $Om$ 的整个边界, 取外侧.
(180123) [华南理工大学2009数分] 设 $f(x)=sin sqrt{x}$. 判断 $f(x)$ 在 $[0,infty)$ 上是否一致连续, 并给出证明.
(180124) [华南理工大学2009数分] 计算积分 $dps{iint_Dminsed{x^2y,2} d x d y}$, 其中 $dps{ D=sed{(x,y); 0leq xleq 4, 0leq yleq 3}. }$
(180125) [华南理工大学2009数分] 计算积分 $dps{I(y) =int_0^infty e^{-x^2}sin 2xy d x}$.
(180126) [华南理工大学2009数分] 设 $dps{f(x,y)=left{a{ll} frac{xy^2}{x^2+y^2},&mbox{当 }x^2+y^2 eq0,\ 0,&mbox{当 }x^2+y^2=0. ea ight.}$ 讨论以下性质: (1) $f$ 的连续性; (2) $f_x$, $f_y$ 的存在性及连续性; (3) $f$ 的可微性.
(180127) [华南理工大学2009数分] 设 $x_0=sqrt{6}$, $dps{x_{n+1}=sqrt{6+x_n}}$, $nin bN$. 判断级数 $dps{sum_{n=0}^infty sqrt{3-x_n}}$ 的敛散性.
(180128) [华南理工大学2009数分] 设 $f(x)$ 在 $(-infty,+infty)$ 内有连续的一阶导数. 证明: (1) 若 $dps{lim_{sev{x} o+infty}f'(x)=alpha>0}$, 则方程 $f(x)=0$ 在 $(-infty,+infty)$ 内至少有一个实根; (2) 若 $dps{lim_{sev{x} o+infty}f(x)=0}$, 则方程 $f'(x)=0$ 在 $(-infty,+infty)$ 内至少有一个实根.
(180129) [华南理工大学2009高代] 设 $f(x)$, $g(x)$ 是 $bP[x]$ 中的多项式, 且 $$ex g(x)=s^m(x)g_1(x)(mgeq 1), (s(x),g_1(x))=1, s(x)|f(x).eex$$ 证明: 不存在 $f_1(x),r(x)in bP[x]$, 且 $r(x) eq 0$, $p sex{r(x)}<p sex{s(x)}$, 使得 $$eelabel{hnlg09_gd_1:eq} frac{f(x)}{g(x)} =frac{r(x)}{s^m(x)} +frac{f_1(x)}{s^{m-1}(x)g_1(x)}. eee$$
(180130) [华南理工大学2009高代] 设 $bP[x]_n$ 表示数域 $bP$ 上所有次数 $<n$ 的多项式及零多项式构成的线性空间. 令多项式 $$eelabel{hnlg09_gd_2:a} f_i(x)=(x-a_1)cdot cdots cdot (x-a_{i-1}) (x-a_{i+1})cdot cdots cdot (x-a_n),quad i=1,2,cdots,n, eee$$ 其中 $a_1,a_2,cdots,a_n$ 是数域 $bP$ 中 $n$ 个互不相同的数. 证明: $f_1(x),f_2(x),cdots,f_n(x)$ 是 $bP[x]_n$ 的一组基. 在 eqref{hnlg09_gd_2:a} 中, 取 $a_1,a_2,cdots,a_n$ 为全体 $n$ 次单位根. 求由基 $1,x,cdots,x^{n-1}$ 到基 $f_1(x),f_2(x),cdots,f_n(x)$ 的过渡矩阵.
(180131) [华南理工大学2009高代] 设 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^2=A$, 且 $ ank(A)=r$. (1) 证明: $ r(A)=r$. (2) 求 $detsex{A+E}$ 的值.
(180201) [华南理工大学2009高代] 设 $ve_1,ve_2,ve_3$ 是欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基, 设 $$ex alpha_1=ve_1+ve_2-ve_3, alpha_2=ve_1-ve_2-ve_3, W=spansed{alpha_1,alpha_2}.eex$$ (1) 求 $W$ 的一组标准正交基. (2) 求 $W^perp$ 的一组标准正交基. (3) 求 $alpha=ve_2+2ve_3$ 在 $W$ 中的内射影 (即求 $etain W,st alpha=eta+gamma, gammain W^perp$), 并求 $alpha$ 到 $W$ 的距离.
(180202) [华南理工大学2009高代] 设 $scrA$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换, $f(x),g(x)in P[x]$. 证明: (1) $f(scrA)^{-1}(0) +g(scrA)^{-1}(0) subset sex{f(scrA)g(scrA)}^{-1}(0)$. (2) 当 $sex{f(x),g(x)}=1$ 时, 有 $dps{ f(scrA)^{-1}(0)oplus g(scrA)^{-1}(0) =sex{f(scrA)g(scrA)}^{-1}(0). }$
(180203) [华南理工大学2009高代] 设 $f(x_1,x_2,cdots,x_n)=x^TAx$ 为 $n$ 元二次型. 若矩阵 $A$ 的顺序主子式 $lap_k (k=1,2,cdots,n)$ 都不为零. 证明: $f(x_1,x_2,cdots,x_n)$ 可经过非退化的线性变换化为下述标准型 $$ex lambda_1y_1^2 +lambda_2y_2^2 +cdots +lambda_ny_n^2,eex$$ 这里 $dps{lambda_i=frac{lap_i}{lap_{i-1}}, i=1,2,cdots,n}$, 并且 $lap_0=1$.
(180204) [华南理工大学2009高代] 设 $A,B$ 分别为数域 $bP$ 上的 $m imes n$ 与 $n imes s$ 矩阵, 又设 $$ex W=sed{Balpha; ABalpha=0, alphain bP^{s imes 1}}subset bP^{n imes 1}.eex$$ 证明: $dps{ dim(W)= ank(B)- ank(AB). }$
(180205) [华南理工大学2009高代] 设 $f(x,y)$ 为定义在数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个双线性函数. 证明: $$ex dps{f(x,y)=x^TAy=sum_{i,j=1}^na_{ij}x_iy_j}eex$$ 可以表示成两个线性函数 $dps{ f_1(x)=sum_{i=1}^n b_i x_i, f_2(y)=sum_{i=1}^n c_i y_i, }$ 之积的充分必要条件是 $f(X,Y)$ 的度量矩阵 $A$ 的秩 $leq 1$.
(180206) [浙江大学2010数分] 求极限 $dps{lim_{n oinfty} sum_{k=n^2}^{(n+1)^2}frac{1}{sqrt{k}}}$.
(180207) [浙江大学2010数分] 求积分 $dps{iint_{[0,pi] imes [0,1]}ysin(xy) d x d y}$.
(180208) [浙江大学2010数分] 求极限 $dps{lim_{x o 0} frac{e^xsin x -x(1+x)} {sin^3 x}}$.
(180209) [浙江大学2010数分] 计算 $dps{ iint_Sigma z d x d y }$ 其中 $Sigma$ 是三角形 $dps{sed{(x,y,z); x,y,zgeq 0, x+y+z=1}}$, 其法方向与 $(1,1,1)$ 相同.
(180210) [浙江大学2010数分] 求积分 $dps{int_0^{2pi}sqrt{1+sin x} d x}$.
(180211) [浙江大学2010数分] $dps{int_0^1 frac{ln(1+x)}{1+x^2} d x}$
(180212) [浙江大学2010数分] 设 $a_n=sin a_{n-1}$, $ngeq 2$, 且 $a_1>0$. 计算 $dps{ lim_{n o infty}sqrt{frac{n}{3}}a_n. }$
(180213) [浙江大学2010数分] 设函数 $f(x)$ 在 $(-infty,+infty)$ 上连续, $n$为 奇数. 证: 若 $dps{ lim_{x o+infty}frac{f(x)}{x^n} =lim_{x o-infty}frac{f(x)}{x^n} =1. }$ 则方程 $f(x)+x^n=0$ 有实根.
(180214) [浙江大学2010数分] 证明 $dps{ int_0^infty frac{sin xy}{y} d y }$ 在 $[delta,+infty)$ 上一致连续 (其中 $delta>0$).
(180215) [浙江大学2010数分] 设 $f(x)$ 连续. 证明 Possion 公式: $$hj{ int_{x^2+y^2+z^2=1} f(ax+by+cz) d S=2pi int_{-1}^1 fsex{sqrt{a^2+b^2+c^2}t} d t. }$$
(180216) [浙江大学2010数分] 设 $sed{a_n}_{ngeq 1},sed{b_n}_{ngeq 1}$ 为 实数序列, 满足 (1) $dps{lim_{n o+infty} sev{b_n}=infty}$; (2) $dps{sed{frac{1}{sev{b_n}} sum_{i=1}^{n-1} sev{b_{i+1}-b_i}}_{ngeq 1}}$ 有界. 证明: 若 $dps{ lim_{n oinfty} frac{a_{n+1}-a_n} {b_{n+1}-b_n} }$ 存在, 则 $dps{ lim_{n oinfty} frac{a_n}{b_n} }$ 也存在.
(180217) [浙江大学2010高代] 设多项式 $sex{f_1(x),cdots,f_k(x)}=1$, $Ain bP^{n imes n}$, $Xin bP^{n imes 1}$. 求证: $$ex f_i(A)X=0, forall 1leq ileq k a X=0.eex$$
(180218) [浙江大学2010高代] 设 $dps{ eta_1=sex{a{cccc} 2\ 3\ 3\ -1 ea}, eta_2=sex{a{cccc} 1\ 1\ 2\ 0 ea}, eta_3=sex{a{cccc} 0\ 2\ -1\ -1 ea}, eta_4=sex{a{cccc} 0\ -1\ 2\ 2 ea}. }$ 又设 $$ex alpha_1=sex{a{cccc} 3\ 8\ 3\ -3 ea},quad alpha_2=sex{a{cccc} 2\ 5\ 2\ -2 ea},quad sex{a{cccc} -1\ 4\ -4\ -2 ea}eex$$ 为 $V=spansed{eta_1,eta_2,eta_3,eta_4}$ 的一组基 $(I)$. (1) 求线性空间 $V$ 的由 $eta_1,eta_2,eta_3,eta_4$ 中的一部分向量组成的一组基 $(II)$. (2) 求出由基 $(I)$ 到 基 $(II)$ 的过渡矩阵. (3) 求出 $eta_1,eta_2,eta_3,eta_4$ 中除掉基 $(II)$ 的向量外, 剩余向量 $eta_i$ 在基 $alpha_1,alpha_2,alpha_3$ 下的坐标.
(180219) [浙江大学2010高代] 考虑线性方程组 $dps{ left{a{rcl} x_1-x_2-x_3+x_4&=&1,\ x_1+x_2-3x_3+x_4&=&1. ea ight. }$ (1) 求该方程的解. (2) 求全体解集合向量组的极大无关组.
(180220) [浙江大学2010高代] 设 $scrA$, $scrB$ 是某数域上的 $n$ 维线性空间上的两个线性变换, 满足 $ scrA scrB =scrB scrA$, $ exists Nin bZ_+,st scrA^N=0. $ 证明: $dps{scrA+scrB mbox{ 是可逆线性变换} lra scrB mbox{ 是可逆线性变换}. }$
(180221) [浙江大学2010高代] 设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵. 证明: 存在幂等矩阵 $B_i, 1leq ileq s$, 使得 $dps{ A=sum_{i=1}^slambda_iB_i, lambda_iin bR. }$.
(180222) [浙江大学2010高代] 用正交变换将矩阵 $dps{ A=sex{a{ccc} 1&2&2\ 2&1&2\ 2&2&1 ea}}$ 化成对角阵, 并求 $A^3+3A^2+4A+6E$.
(180223) [浙江大学2010高代] 设 $f(x)$ 是复系数一元多项式, 且满足 $$eelabel{zd10_gd_7:eq} nin bZ a f(n)in bZ. eee$$ 证明: $f(x)$ 的系数都是有理数. 举例说明存在不是整系数的多项式满足 eqref{zd10_gd_7:eq}.
(180224) [浙江大学2010高代] 设 $a,bin bC$, 根据不同的 $a,b$, 求 $n$ 阶上三角阵 $dps{ A=sex{a{ccccc} a&b&cdots&b&b\ &a&cdots&b&b\ &&ddots&vdots&vdots\ &&&a&b\ &&&&a ea} }$ 的最小多项式和 Jordan 标准型.
(180225) [浙江大学2010高代] 设 $alpha_1,cdots,alpha_k$ 是欧氏空间中一组两两正交的单位向量, 又设 $alphain V$. (1) 证明: Bessel 不等式 $dps{ sum_{i=1}^k(alpha,alpha_i)^2leq sev{alpha}^2. }$ (2) 证明: 向量 $dps{eta =alpha-sum_{i=1}^k (alpha,alpha_i)alpha_i}$ 与每个 $alpha_i$ 都正交.
(180226) [浙江大学2010高代] 设复线性空间 $V$ 有一线性变换 $scrA$, 且 $scrA$ 的特征多项式为 $dps{ f(lambda)=sex{lambda-lambda_1}^{r_1} sex{lambda-lambda_2}^{r_2}. }$ 证明: 根子空间 $V_{lambda_i}=Kersex{scrA-lambda_i scrE}^{r_i} (i=1,2)$ 均为 $scrA-$不变子空间.
(180227) [浙江大学2009数分] 求 $dps{int frac{1}{a^2cos^2x+b^2sin^2x} d x (ab eq 0)}$.
(180228) [浙江大学2009数分] 求 $dps{lim_{x o 0}frac{int_0^x e^frac{t^2}{2}cos t d t-x}{(e^x-1)^2(1-cos^2x)arctan x}}$.
(180301) [浙江大学2009数分] 求 $dps{int_0^{+infty} frac{ln x}{1+x^2} d x}$.
(180302) [浙江大学2009数分] 求 $dps{iint_D (x+y)sgn(x-y) d x d y}$, 其中 $dps{D=[0,1] imes[0,1]}$.
(180303) [浙江大学2009数分] 如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某领域内可导, 且 $dps{lim_{x o x_0}frac{f'(x)}{x-x_0}=frac{1}{2}}$. 证明 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处取极小值.
(180304) [浙江大学2009数分] 设 $f(x,y,z)$ 表示从原点到椭球面 $dps{varSigma:frac{x^2}{a^2} +frac{y^2}{b^2}+frac{z^2}{c^2}=1 (a>0,b>0,c>0)}$ 上点 $p(x,y,z)$ 处的切平面的距离. 求第一型曲面积分 $dps{iint_varSigmafrac{ d S}{f(x,y,z)}}$.
(180305) [浙江大学2009数分] 设 $f(x)$ 在 $dps{[a,b]}$ 上连续,且 $dps{min_{xin[a,b]}f(x)=1}$. 证明: $dps{ lim_{n oinfty} sed{ int_a^bfrac{ d x}{sez{f(x)}^n} } ^frac{1}{n}=1 }$.
(180306) [浙江大学2009数分] 设对任意 $a>0$, $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上黎曼可积,且 $dps{lim_{x oinfty} f(x)=C}$. 证明: [ lim_{t o 0^+}tint_0^{+infty}e^{-tx}f(x) d x=C. ]
(180307) [浙江大学2009数分] 证明 $dps{f(x)=frac{sev{sin x}}{x}}$ 在 $(0,1)$ 与 $(-1,0)$ 上均一致连续, 但在 $dps{(-1,0)cup (0,1)}$ 上不一致连续.
(180308) [浙江大学2009数分] 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$上 可导, 导函数 $f'(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调下降, 且 $f'(b)>0$. 证明: $$hj{ sev{int_a^bcos f(x) d x}leq frac{2}{f'(b)}. }$$
(180309) [浙江大学2009高代] 设 $bP$ 是数域, 在 $n$ 个变元的多项式环 $bP[x_1,cdots,x_n]$ 中引入对第 $k$ 个变元的偏导子, 由下列式子定义: $dps{ frac{p}{p x^k} sex{sum_{i_1cdots i_n}a_{i_1cdots i_n} x_1^{i_1}cdots x_k^{i_k}cdots x_n^{i_n}} =sum_{i_1cdots i_n} i_k a_{i_1cdots i_n} x_1^{i_1}cdots x_k^{i_k-1}cdots x_n^{i_n}, }$ 其中 $a_{i_1cdots i_n}in bP$. (1) 证明: 在 $dps{frac{p}{p x^k}}$ 下取零值的多项式集合是 $(n-1)$ 个变元的多项式环 $bP[x_1,cdots,x_{k-1},x_{k+1},cdots,x_n]$. (2) 设 $f(x_1,cdots,x_n)$ 是一个 $m$ 次齐次多项式. 证明: $$ex sum_{k=1}^n x_k frac{p f}{p x^k}(x_1,cdots,x_n) =mf(x_1,cdots,x_n).eex$$ 该式称为 Euler 恒等式. 反之, 证明: 对任意正整数 $m$, 满足 Euler 恒等式的多项式必为 $m$ 次齐次多项式.
(180310) [浙江大学2009高代] 设 $dps{A=sex{a{cccc} 2a_1b_1&a_1b_2+a_2b_1&cdots&a_1b_n+a_nb_1\ a_2b_1+a_1b_2&2a_2b_2&cdots&a_2b_n+a_nb_2\ vdots&vdots&ddots&vdots\ a_nb_1+a_1b_n&a_nb_2+a_2b_n&cdots&2a_nb_n ea}}$. 计算 $det(A)$.
(180311) [浙江大学2009高代] 设 $dps{A=sex{a{ccccc} 1&-1&0&-1&-2\ -1&2&1&3&6\ 0&1&1&2&4\ 0&-1&-1&1&2 ea}}$. 记 $bR^{5 imes 2}$ 为实数域 $bR$ 上所有 $5 imes 2$ 阶矩阵组成的线性空间. 再设 $dps{ W=sed{Bin bR^{5 imes 2}; AB=0}. }$ 证明: $W$ 是 $bR^{5 imes 2}$ 的子空间, 并求出它在 $bR$ 上的维数.
(180312) [浙江大学2009高代] 设 $alpha, eta, gamma, delta$ 是实数. 给出一个次数不超过 $2$ 的实系数多项式 $f(x)$ 使得满足 $$eelabel{zd09_gd_4:eq} f(-1)=alpha, f(1)=eta, f(3)=gamma, f(0)=delta eee$$ 的充要条件.
(180313) [浙江大学2009高代] 设 $x,yin bRssed{0}$, $scrA,scrB$ 是实数域上某个 $n$ 维线性空间上的两个线性变换, 满足 $scrA scrB=x scrA+y scrB$. 证明: $scrA scrB=scrB scrA$.
(180314) [浙江大学2009高代] 设 $A$ 是一个 $n$ 阶实对称矩阵. 证明: 存在某个充分大的实数 $alpha$, 使得 $bR^n$ 关于运算 $$ex sex{alpha,eta}=alpha^T(A+alpha E)eta, alphain bR^n, etain bR^neex$$ 构成一个欧氏空间.
(180315) [浙江大学2009高代] 设 $A$ 是 $n$ 阶复方阵, 零是 $A$ 的 $k$ 重特征值. 证明: $ ank(A^k)=n-k$.
(180316) [浙江大学2009高代] 用正交变换将矩阵 $dps{ A=sex{a{ccc} -1&3&-3\ 3&-1&-3\ -3&-3&5 ea}}$ 化成对角阵, 并求 $A^3+3A^2+4A+6E$.
(180317) [浙江大学2009高代] 对 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的线性变换 $scrA$, 若存在固定的单位向量 $etain V$, 使对 $alphain V$, 有 $$ex scrA(alpha)=alpha-2(alpha,eta)eta,eex$$ 则称 $scrA$ 是 $V$ 上的镜面反射, $scrA$ 在标准正交基下的矩阵称为镜面反射矩阵. 证明: $n$ 阶实方阵 $A$ 是镜面反射矩阵当且仅当存在单位向量 $omegain bR^n$, 使得 $A=E-2omega omega^T$.
(180318) 设 $A$ 是 $n$ 阶复方阵. (1) 证明: $A$ 的最小多项式等于 $A$ 的特征矩阵 $lambda E-A$ 的最高次不变因子. (2) 求 $dps{A=sex{a{ccc} -1&-2&6\ -1&0&3\ -1&-1&4 ea}}$ 的最小多项式.
(180319) [南京师范大学2004实变函数复试试题] 设 $E=[0,1]$, $F$ 是 Cantor 集, $dps{ f(x)=seddm{ e^x,&xin [0,1/2)s F\ cos pi x,&xin [1/2,1]s F\ e^{x^2},&xin F } }$, 试求 $dps{int_E f(x) d x}$.
(180320) [南京师范大学2004实变函数复试试题] 求极限 $dps{vlm{n}int_{[0,1]} f{nx}{1+n^2x^2}e^{sin x} d x}$.
(180321) [南京师范大学2004实变函数复试试题] 设 $A$ 是无限集, $B$ 为至多可数集, 则 $Acup B$ 与 $A$ 对等.
(180322) [南京师范大学2004实变函数复试试题] 试证: (1) $A$ 为任意集, 则 $$ex m^*A=infsed{mG; Asubset G, Gmbox{ 为开集}};eex$$ (2) $A$ 为任意集, 则存在可测集 $B$, 使得 $Bsupset A$, 且 $m^*A=mB$.
(180323) [南京师范大学2004实变函数复试试题] 设 $E$ 可测, $f$ 在 $E$ 上有定义, 且满足: $forall ve>0$, 存在 $E$ 的可测子集 $E_ve$, 使得 $f$ 在 $E_ve$ 上可测, 且 $m(Es E_ve)<ve$, 则 $f$ 在 $E$ 上可测.
(180324) [南京师范大学2004实变函数复试试题] 设 $sed{f_n}$ 为可测集 $E$ 上的可测函数列, 且 $dps{vsm{n}int_E|f_n(x)| d x<infty}$, 试证: (1) $dps{vlm{n}f_n(x)=0,ae}$ 于 $E$; (2) $dps{vsm{n}f_n(x)}$ 为 $E$ 上的可测函数, 且 $dps{int_E vsm{n}f_n(x) d x =vsm{n}int_E f_n(x) d x}$.
(180325) [南京师范大学2016实变函数复试试题] (1). 叙述可测集 $Esubset bR^n$ 上可测函数的定义, 并讨论函数 $f(x)$ 与 $|f(x)|$ 可测性之间的关系. (2). 证明 $bR^n$ 中的任意开集必可表成可数个闭集之并.
(180326) [南京师范大学2016实变函数复试试题] 证明对任意 $p>0$, $dps{vlm{n}int_0^infty f{ln^p(x+n)}{n}e^{-x}cos x d x=0}$.
(180327) [南京师范大学2016实变函数复试试题] 设在 $E$ 上 $f_n a f$, 则存在子列 $sed{f_{n_k}}$ 在 $E$ 上 $ae$ 收敛于 $f$.
(180328) [南京师范大学2016实变函数复试试题] 设 $f(x)$ 是 $E$ 上的函数, 对任意 $del>0$, 存在闭子集 $E_delsubset E$, 使得 $f(x)$ 在 $E_del$ 上连续, 且 $m(Es E_del)<del$. 证明: $f$ 是 $E$ 上 $ae$ 有限的可测函数.
(180329) [南京师范大学2016实变函数复试试题] 设 $f_n(x)$ 为可测集 $E$ 上 $ae$ 有限的可测函数列 ($mE>0$), 而 $f_n(x)$ 在 $E$ 上 $ae$ 收敛, 证明存在常数 $C$ 及正测度集 $E_0subset E$ 使得在 $E_0$ 上, 对任意 $n$, 有 $|f_n(x)|leq C$.
(180330) [南京师范大学2016实变函数复试试题] 设 $mE<+infty$, $f_n(x),f(x)$ 在 $E$ 上均 $cal$ 可积, 则 $dps{ vlm{n}int_E |f_n(x)-f(x)| d x=0 }$ 当且仅当 (1). $f_n a f$; (2). 对任给 $ve>0$, 存在 $del>0$, 使对一切 $Asubset E$, $mA<del$, 有 $dps{int_A|f_n(x)| d x<ve}$.
(180331) [南京师范大学2016常微分方程复试试题] 设函数 $f(x)$ 在 $[0,+infty)$ 上连续且有界, 证明: 方程 $dps{f{ d y}{ d x}+y=f(x)}$ 的所有解均在 $[0,+infty)$ 上有界.
(180401) [南京师范大学2016常微分方程复试试题] 证明: 对任意的 $x_0$ 及满足条件 $0<y_0<1$ 的 $y_0$, 方程 $$ex f{ d y}{ d x} =f{y(y-1)}{1+x^2+y^2}eex$$ 的满足条件 $y(x_0)=y_0$ 的解 $y=y(x)$ 的存在区间是 $(-infty,+infty)$.
(180402) [南京师范大学2016常微分方程复试试题] 在方程 $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ 中, $p(x)$ 和 $q(x)$ 在区间 $I$ 上连续且 $p(x) eq 0$. $varphi(x)$ 和 $phi(x)$ 是它的两个解, $W(x)$ 是它们的 Wronsky 行列式. (1). 试叙述 Liouville 公式; (2). 若 $varphi(x)$ 和 $phi(x)$ 线性无关, 证明: $W(x)$ 是区间 $I$ 上的严格单调函数.
(180403) [南京师范大学2016常微分方程复试试题] (1). 设初值问题 $dps{ seddm{ f{ d X}{ d t}=f(t,X)\ X(t_0)=X_0 } }$ (其中 $X_0inbR^n, f(t,0)equiv 0$) 的解为 $X=varphi(t,t_0,X_0)$, 叙述此问题零解稳定和渐近稳定的概念. (2). 给定方程 $dps{f{ d^2x}{ d t^2} +f(x)=0}$, 其中 $f(x)$ 是连续函数且满足 $f(0)=0$, 当 $x eq 0$ 时, $xf(x)>0, (-k<x<k)$. 试将其化为一阶微分方程组, 并用形如 $dps{V(x,y)=f{1}{2}y^2+int_0^x f(s) d s}$ 的 Lyapunov 函数讨论方程组零解的稳定性.
(180404) [南京师范大学2016常微分方程复试试题] (1). 叙述初值问题 $dps{seddm{ f{ d y}{ d x}=f(x,y)\ y(x_0)=y_0}}$ 解的存在与唯一性定理. (2). 简述此定理存在性的证明. (3). 叙述 Bellman 不等式并利用此不等式证明解的唯一性.
(180405) [南京师范大学2016常微分方程复试试题] 求方程组 $dps{ seddm{ f{ d x}{ d t}&=x&-&y&-&z\ f{ d y}{ d t}&=x&+&y&&\ f{ d z}{ d t}&=3x&&&+&z } }$ 的通解.
(180406) [浙江省2017高数竞赛(数学类)] 求极限 $dps{vlmc{x}{0}f{e^{x^2}-sqrt{cos 2x}cos x}{x-ln (1+x)}}$.
(180407) [浙江省2017高数竞赛(数学类)] 求不定积分 $dps{int x[3+ln (1+x^2)]arctan x d x}$.
(180408) [浙江省2017高数竞赛(数学类)] 求级数 $dps{vsm{n}f{x^n}{n(n+1)}}$ 的和.
(180409) [浙江省2017高数竞赛(数学类)] 设 $f(x)$ 连续且 $dps{f(x)=3x+int_0^x (t-x)^2f(t) d t}$, 求 $f^{(2017)}(0)$ 的值.
(180410) [浙江省2017高数竞赛(数学类)] 设 $f(x)=sin (pi x^2)$, 求 $dps{vlm{x}x sez{fsex{x+f{1}{x}}-f(x)}}$.
(180411) [浙江省2017高数竞赛(数学类)] 已知 $f(x)$ 连续且 $f(x+2)-f(x)=sin x$, $dps{int_0^2 f(x) d x=0}$, 求积分 $dps{int_1^3 f(x) d x}$.
(180412) [浙江省2017高数竞赛(数学类)] 计算曲线积分 $dps{int_L f{(x-1) d y-y d x}{(x-1)^2+y^2}}$, 其中 $L$ 是从 $(-2,0)$ 到 $(2,0)$ 的上半椭圆 $dps{f{x^2}{4}+y^2=1}$.
(180413) [浙江省2017高数竞赛(数学类)] 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续可导, 证明: $dps{ max f(x)-min f(x)leq sqrt{int_0^1 [f'(x)]^2 d x}. }$
(180414) [浙江省2017高数竞赛(数学类)] 设 $g$ 在 $[0,+infty)$ 上连续, 且 $dps{vlmp{x}g(x)=infty}$, 证明: $f(x)=xg(x)$ 在 $[0,+infty)$ 上不一致连续.
(180415) [浙江省2017高数竞赛(工科类)] 求曲线 $C: y=x^2$ 与直线 $L: y=x$ 所围图形绕直线 $L$ 旋转所成旋转体的体积.
(180416) [浙江省2017高数竞赛(工科类)] 计算 $dps{iint_D |xy| d x d y}$, $dps{D=sed{(x,y);f{x^2}{a^2}+f{y^2}{b^2}leq 1}}$.
(180417) [浙江省2017高数竞赛(工科类)] 证明: $(cos x)^pleq cos(px)$, $dps{xin sez{0,f{pi}{2}}, 0<p<1}$.
(180418) [浙江省2017高数竞赛(工科类)] 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续可导, $f(0)=0$. 证明: $dps{ |f(x)|leq sqrt{int_0^1 [f'(x)]^2 d x}. }$
(180419) [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] $a eq b$, 则 $dps{vlmc{x}{0}f{e^{bx}-e^{ax}}{sin bx-sin ax}=}$____.
(180420) [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 并设 $dps{ int_0^1 f(x) d x=2}$, 则 $dps{int_0^1 d xint_x^1 f(x)f(y) d y=}$____.
(180421) [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] $f(x)$ 在区间 $(-infty,+infty)$ 上连续, 且对任意给定的实数 $al$, 有 $dps{g(x)=int_x^{al+3x}f(t) d t}$ 为常值函数, 则函数 $f(x)$ 的表达式为_____.
(180422) [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 曲线 $dps{y=f(x)=f{2}{1+x^{2n}}}$, 记其在点 $(1,1)$ 处的切线与 $x$ 轴交点为 $(x_n,0)$, 则 $dps{vlm{n}x_n=}$_____.
(180423) [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 设函数 $dps{f(x)=seddm{ f{2-2cos x}{x^2},&x eq 0\ 1,&x=0 }}$, 则 $f''(0)=$_____.
(180424) [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点的邻域内有定义, 且 $dps{vlmc{h}{0}f{f(x_0+2h)-f(x_0+h)}{h}=2}$, 则 $f(x)$ 在 $x_0$ 点 ( ) A. 不连续 B. $f'(x_0)=2$ C. 连续, 不可导 D. 条件不足, 无法确定连续性和可导性
(180425) [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 设函数 $f(x)$ 在区间 $(-infty,+infty)$ 上有连续的导数, 且满足 $dps{vlmp{x}[f(x)+f'(x)]=1}$, 则 ( ) A. $dps{vlmp{x}f'(x)=0}$ B. $dps{vlmp{x}f'(x)}$ 不能判断 C. $dps{vlmp{x}f(x)}$ 不能判断 D. 以上都不正确
(180426) [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 考虑下列关于数列的描述: $1^o$ 对于数列 $sed{a_n}$, 如果 $sed{a_{2n}}$ 和 $sed{a_{2n-1}}$ 都是收敛的, 则该数列一定是收敛的; $2^o$ 数列 $sed{a_n}$, 如果数列 $sed{a_{n+1}-a_n}$ 收敛于 $0$, 则数列 $sed{a_n}$ 是收敛的; $3^o$ $sed{a_n}$ 的极限为 $0$ 和数列 $sed{|a_n|}$ 的极限为 $0$ 是等价的; $4^o$ 数列 $sed{a_n}$ 收敛, 数列 $sed{b_n}$ 有界, 则数列 $sed{a_nb_n}$ 是收敛的. 其中正确的结论个数为 ( ) A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $4$
(180427) [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 已知函数 $f(x,y)=e^y(x^2+y-2x)$, 则它在点 $(1,0)$ 处取 ( ) A. 极小值 $-1$ B. 极大值 $-1$ C. 不取极值 D. 取极大值 $1$
(180428) [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 设函数 $dps{f(x)=f{2+e^f{1}{x}}{1+e^f{2}{x}}+f{ an x}{|x|}}$, 则 $x=0$ 是函数 $f(x)$ 的 ( ). A. 无穷间断点 B. 跳跃间断点 C. 可去间断点 D. 以上都不正确
(180429) [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 设函数 $dps{z=f(x,y), f{p^2f}{p x^2}=6x, f{p f}{p x}(0,y)=y, f(0,y)=1+y^2}$, 求函数 $f(x,y)$.
(180430) [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 证明 $dps{ int_0^{2017} f{1}{x}sed{ 1-sex{1-f{x}{2017}}^{2017} } d x=1+f{1}{2}+f{1}{3}+cdots+f{1}{2017}. }$
(180501) [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 设 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上取正值的连续函数, $D$ 为 $aleq xleq b, aleq yleq b$. 证明: $$ex iint_D f{f(x)}{f(y)} d sigmageq (b-a)^2.eex$$
(180502) [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 函数 $f(x)$ 在 $(-infty,+infty)$ 上连续, 在 $x=0$ 处可导, 且 $f(0)=0$, $f'(0)=8$, 求极限 $dps{ vlmc{t}{0^+}f{1}{e^{sin^4t}-1}int_0^T d x int_x^1 f(xy) d y. }$
(180503) [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有连续的二阶导数, 且 $f(a)=f(b)=0$, $dps{M=max_{xin [a,b]}|f''(x)|}$. 求证: $dps{ sev{int_a^b f(x) d x}leq f{M}{12}{(b-a)^3}. }$
(180504) [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 设函数 $f(x,y)$ 在 $D:sed{(x,y);x^2+y^2leq 1}$ 上由连续的偏导数, 且在边界 $x^2+y^2=1$ 上满足 $f(x,y)=0$. 求极限 $dps{ vlmc{ve}{0^+}iint_{D_ve}f{xf{p f}{p x}+yf{p f}{p y}}{x^2+y^2} d x d y, }$ 其中 $D_ve$ 为 $ve^2leq x^2+y^2leq 1$.
(180505) [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 函数 $f(x,y)$ 在区间 $dps{sez{0,f{3}{2}}}$ 上连续, 在 $dps{sex{0,f{3}{2}}}$ 上可导, 且在该区间上满足 $|f'(x)|leq |f(x)|$ 以及 $f(0)=0$. 求证: $f(x)equiv 0$.
(180506) [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 计算曲线积分 $dps{I=oint_Cf{xy^2 d x-yx^2 d y}{(x^2+y^2)^2}}$, 其中 $C$ 为正向曲线 $2x^2+3y^2=1$.
(180507) [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 设函数 $dps{f(x,y)=seddm{ e^{(x+y+z)^2},&x^2+y^2+z^2leq 1\ 0,&x^2+y^2+z^2>0 }}$, $vSa$ 为曲面 $x+y+z=t$, 求 $dps{I=iint_vSa f(x,y,z) d S}$.
(180508) [天津市2017大学生数学竞赛(理工类)] 设 $a_1>0$, $dps{a_{n+1}=f{2}{1+a_n^2}, n=1,2,3,cdots}$. 讨论数列 $sed{a_n}$ 的收敛性.
(180509) [华东师范大学2017数学竞赛] 试问: 在 $bR^3$ 中, $(3x+y)(y+2z)=3x+2y+2z$ 是柱面方程么? 若是, 请求出它的母线方向向量.
(180510) [华东师范大学2017数学竞赛] 设 $A,B$ 是 $n$ 阶矩阵, 证明: (1) 若 $AB=BA=0$, $ (A^2)= (A)$, 则 $ (A+B)= (A)+ (B)$; (2) 若 $AB=BA=0$, 则存在正整数 $m$, 使得 $ (A^m+B^m)= (A^m)+ (B^m)$.
(180511) [华东师范大学2017数学竞赛] 设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵, $A^2=A$, 若对于任意的列向量 $xinbR^n$, 恒有 $x^TA^TAxleq x^Tx$ 成立, 证明: $A^T=A$.
(180512) [华东师范大学2017数学竞赛] 设 $dps{a_n=int_0^1 x^n(1-x)^n d x, n=1,2,cdots}$. (1) 求 $a_n$; (2) 证明: $dps{vlm{n}4^na_n=0}$; (3) 证明: 存在正整数数列 $sed{n_k}$, $n_1<n_2<n_3<cdots$, 使得级数 $dps{vsm{k}4^{n_k}a_{n_k}}$ 收敛.
(180513) [华东师范大学2017数学竞赛] 设 $f(x)in C(-infty,+infty)$, 且对 $forall x eq y$, $f(x) eq f(y)$. 若对 $forall xin (-infty,+infty), f(2x-f(x))=x$. (1) 求证: $sed{f_n(x)}_{n=1}^infty$ 是等差数列, 其中 $f_n(x)=underbrace{fcirc cdots circ f}_n(x)$; (2) 设 $sed{f_n(x)}_{n=1}^infty$ 的公差是 $d(x)$, 证明: $d(x)$ 是常值函数.
(180514) [华东师范大学2017数学竞赛] 设函数列 $sed{u_n(x)}$, $u_n(x)in C[a,b]$, $n=1,2,cdots$. 若 $dps{S(x)=sum_{n=1}^infty u_n(x), xin [a,b]}$. 证明: $S(x)$ 在 $[a,b]$ 上有最小值.
(180515) [华东师范大学2017数学竞赛] 设 $f(x)$ 在 $(-infty,+infty)$ 上有连续的一阶导数, 且对 $forall x,yin (-infty,+infty)$, $x<y$, 有 $dps{f(y)-f(x)=f'sex{f{x+y}{2}}(y-x)}$. 求证: $f(x)$ 是一条抛物线 (直线, 常值函数).
(180516) [北京大学2017数分] 证明 $dps{vlm{n}int_0^f{pi}{2} f{sin^nx}{sqrt{pi-2x}} d x=0}$.
(180517) [北京大学2017数分] 证明 $dps{vsm{n}f{1}{1+nx^2}sin f{x}{n^al}}$ 在任何有限区间上一致收敛的充要条件是 $dps{al>f{1}{2}}$.
(180518) [北京大学2017数分] 设 $dps{vsm{n}a_n}$ 收敛. 证明: $dps{lim_{s o 0^+}vsm{n}a_nn^{-s} =vsm{n}a_n}$.
(180519) [北京大学2017数分] 设 $I$ 是区间, 称 $gm(t)=(x(t),y(t)), tin I$ 是 $bR^2$ 上 $C^1$ 向量场 $(P(x,y),Q(x,y))$ 的积分曲线, 若 $x'(t)=P(gm(t))$, $y'(t)=Q(gm(t))$, $forall tin I$. 设 $P_x+Q_y$ 在 $bR^2$ 上处处非零, 证明向量场 $(P,Q)$ 的积分曲线不可能封闭 (单点情形除外).
(180520) [北京大学2017数分] 假设 $dps{x_0=1, x_n=x_{n-1}+cos x_{n-1} (n=1,2,cdots)}$. 证明: 当 $n oinfty$ 时, $dps{x_n-f{pi}{2}=osex{f{1}{n^n}}}$.
(180521) [北京大学2017数分] 假设 $fin C[0,1]$, $dps{lim_{x o 0^+}f{f(x)-f(0)}{x}=al<e=lim_{x o 1^-}f{f(x)-f(1)}{x-1}}$. 证明: $forall lmin (al,e), exists x_1,x_2in [0,1]$ 使得 $dps{lm=f{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}$.
(180522) [北京大学2017数分] 设 $f$ 是 $(0,+infty)$ 上的凹 (或凸) 函数且 $dps{lim_{x o +infty} f(x)}$ 存在有限, 则 $dps{lim_{x o +infty} xf'(x)=0}$ (仅在 $f$ 可导的点考虑极限过程).
(180523) [北京大学2017数分] 设 $phiin C^3(bR^3)$, $phi$ 及其各个偏导数 $p_iphi (i=1,2,3)$ 在点 $x_0inbR^3$ 处取值都是 $0$. $x_0$ 的 $del$ 邻域记为 $U_del (del>0)$. 如果 $(p_{ij}^2phi(x_0))_{3 imes 3}$ 是严格正定的, 则当 $del$ 充分小时, 证明如下极限存在并求之: $$ex lim_{t o+infty}t^f{3}{2}iiint_{U_del} e^{-tphi(x_1,x_2,x_3)} d x_1 d x_2 d x_3.eex$$
(180524) [北京大学2017数分] 将 $(0,pi)$ 上常值函数 $f(x)=1$ 进行周期 $2pi$ 奇延拓并展成正弦级数: $$hj{ f(x)sim f{4}{pi}vsm{n}f{1}{2n-1}sin (2n-1)x. }$$ 该 Fourier 级数的前 $n$ 项和记为 $S_n(x)$, 则 $forall xin (0,pi)$, $dps{S_n(x)=f{2}{pi}int_0^x f{sin 2nt}{sin t} d t}$, 且 $dps{vlm{n}S_n(x)=1}$. 证明: $S_n(x)$ 的最大值点是 $dps{f{pi}{2n}}$ 且 $dps{vlm{n}S_nsex{f{pi}{2n}}=f{2}{pi}int_0^pif{sin t}{t} d t}$.
(180525) [湖南大学2014数分] 用极限定义证明若 $dps{vlm{n}a_n=a}$, 则 $dps{vlm{n}f{a_1+a_2+cdots+a_n}{n}=a}$.
(180526) [湖南大学2014数分] (1). 设 $dps{lim_{x o 0}f{lnsex{1+f{f(x)}{sin 3x}}}{2^x-1}=2}$, 求 $dps{lim_{x o 0}f{f(x)}{x^2}}$. (2). 设 $f(x)$ 有一阶连续导数, 且 $f(0)=0$, $f'(0)=2$, 求 $dps{lim_{x o 0}[1+f(x)]^f{1}{ln (1+x)}}$.
(180527) [湖南大学2014数分] 已知 $f(x)$ 有三阶导数, 且 $g(x)=|x-1|^3f(x)$. 试证: 当 $f(1)=0$ 时, $g(x)$ 在 $x=1$ 处有三阶导数, 但当 $f(1) eq 0$ 时, $g(x)$ 在 $x=1$ 处无三阶导数.
(180528) [湖南大学2014数分] 设 $f'(x)$ 在 $[0,1]$ 上有界可积, 且 $dps{h=f{1}{n}}$, 证明: $$ex int_0^1 f(x) d x =sum_{k=1}^n f(kh)cdot h -f{h}{2}[f(1)-f(0)]+osex{f{1}{n}}.eex$$
(180529) [湖南大学2014数分] 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶导数连续, $f(0)=f(1)=0$, 并且 $xin (0,1)$ 时, $|f''(x)|leq A$. 求证: $$ex |f'(x)|leqf{a}{2}, forall xin (0,1).eex$$
(180530) [湖南大学2014数分] 计算第一型曲面积分 $dps{iint_S f{1}{x^2+y^2+z^2} d S}$, 其中 $dps{ S=sed{(x,y,z);x^2+y^2=1, 0leq zleq 1}. }$
(180531) [湖南大学2014数分] 设 $f_0(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $g(x,y)$ 在闭区间 $dps{ D=sed{(x,y); aleq xleq b, aleq yleq b} }$ 上连续, 对任何 $xin [a,b]$, 令 $dps{ f_n(x)=int_0^x g(x,y)f_{n-1}(y) d y, n=1,2,3,cdots. }$ 证明: 函数列 $sed{f_n(x)}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于零.
(180601) [湖南大学2014数分] 求椭球 $dps{f{x^2}{a^2}+f{y^2}{b^2}+f{z^2}{c^2}=1}$ 在第一卦限中的切平面与三个坐标平面所围成四面体的最小体积 $V$.
(180602) [厦门大学2017高代] $n$ 阶行列式 $dps{sevm{ 0&0&cdots&0&1\ 0&0&cdots&1&0\ vdots&vdots&ddots&vdots&vdots\ 0&1&cdots&0&0\ 1&0&cdots&0&0}=}$ ( ).
(180603) [厦门大学2017高代] 将 $dps{sexm{ 2&1&3\ 0&5&2\ -2&4&1 }}$ 表示为对称矩阵和反对称矩阵的和 ( ).
(180604) [厦门大学2017高代] 若矩阵 $A=(al_1,al_2,al_3,al_4)$ 经过行初等变换化为 $dps{sexm{1&0&0&-3\ 0&0&2&4\ 0&-1&0&5\ 0&0&0&0}}$, 那么向量组 $al_1,al_2,al_3,al_4$ 的无关组是 ( ), 其余向量由此极大无关组线性表出的表达式为 ( ).
(180605) [厦门大学2017高代] 设 $n$ 阶方阵 $A$ 的秩为 $n-1$, 且 $a_{11}$ 的代数余子式 $A_{11} eq 0$, 则线性方程组 $AX=0$ 的通解是 ( ).
(180606) [厦门大学2017高代] 设 $p(x)$ 是数域 $bF$ 上首一的不可约多项式, $f(x),g(x)inbF[x]$, 若 $p(x)mid f(x)g(x)$, 但 $p(x)$ 不整除 $f(x)$, 则 $(p(x),g(x))=$ ( ).
(180607) [厦门大学2017高代] 设 $sed{xi_1,xi_2,xi_3}$, $sed{eta_1,eta_2}$ 分别是 $V$ 和 $U$ 的一组基, $phi$ 是 $V$ 到 $U$ 的线性映射, 满足 $phi(xi_1)=eta_1+2eta_2$, $phi(xi_2)=eta_2$, $phi(xi_3)=eta_1+2eta_2$, 则 $dim ker phi=$ ( ), $kerphi=$ ( ).
(180608) [厦门大学2017高代] 设 $A$ 是 $n$ 阶实对称阵, 则在复数域上 $A$ 与 $-A$ ( ) (选填: `` 必'', ``未必'') 合同, 在实数域上 $A$ 与 $-A$ ( ) (选填: ``必'', ``未必'') 合同.
(180609) [厦门大学2017高代] $2$ 阶实对称正交阵全体按正交相似分类, 可分成 ( ) 类, 每类的正交相似标准型是 ( ).
(180610) [厦门大学2017高代] 已知 $3$ 阶非零矩阵 $B$ 的每个列向量都是齐次线性方程组 $seddm{ x_1+2x_2-2x_3=0\ 2x_1-x_2+lm x_3=0\ 3x_1+x_2-x_3=0 }$ 的解向量. (1) 求 $lm$ 的值; (2) 求行列式 $det B$.
(180611) [厦门大学2017高代] 设 $dps{A=sexm{ 1&0&0\ 0&-2&0\ 1&0&1 }}$, $A^*BA=2BA-8E$, 计算 $B$.
(180612) [厦门大学2017高代] 设 $f(x),g(x)$ 是非零多项式, 证明 $(f(x),g(x))=1$ 的充要条件是对任意 $h(x)inbF[x]$, 都有 $(h(x)f(x),g(x))=(h(x),g(x))$.
(180613) [厦门大学2017高代] 设 $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵, $al$ 是 $n$ 维非零实向量, 令 $B=Aalal^T$, 其中 $al^T$ 表示 $al$ 的转置. 试求 $B$ 的所有特征值和相应的特征子空间, 并给出特征值子空间的基和维数.
(180614) [厦门大学2017高代] 设 $V_1$ 和 $V_2$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的真子空间. 证明: $V=V_1oplus V_2$ 的充要条件是存在 $V$ 上的幂等变换 $sigma$, 使得 $imsigma=V_1$, $ker sigma=V_2$.
(180615) [厦门大学2017高代] 设 $W$ 是 $bF^{n imes n}$ 中形如 $AB-BA$ 的矩阵生成的子空间, 求 $dim W$ 并证明.
(180616) [厦门大学2017高代] 求证 $bC$ 上两个 $n$ 阶方阵 $A,B$ 相似的充分必要条件是, 对于任意的复数 $a$ 和任意正整数 $k$, 均有 $$ex (aE-A)^k= (aE-B)^k.eex$$
(180617) [中山大学2017数分] 求 $dps{vlmp{x}sex{cos f{1}{x}}^{x^2}}$.
(180618) [中山大学2017数分] 求 $dps{vlmp{n}sum_{k=1}^n f{1}{n}sinf{kpi}{n}}$.
(180619) [中山大学2017数分] 求 $dps{iint_{x^2+y^2<1}e^{-x^2-y^2} d x d y}$.
(180620) [中山大学2017数分] 求 $dps{int_0^2 d yint_{y/2}^1 x^3cos(x^5) d x}$.
(180621) [中山大学2017数分] $dps{oint_C y d x+z d y+x d z}$, 其中 $C$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线.
(180622) [中山大学2017数分] 求级数 $dps{vsm{n}f{(2n-1)^2}{n!}x^{2n-1}}$ 的和函数.
(180623) [中山大学2017数分] 判断下列函数是否在 $(0,+infty)$ 上一致连续, 并说明理由: (1) $f(x)=sqrt{x}ln x$; (2) $f(x)=xln x$.
(180624) [中山大学2017数分] 如果 $u_n>0, n=1,2,cdots$ 为单调递增数列. 证明: 级数 $dps{vsm{n}sex{1-f{u_n}{u_{n+1}}}}$ 当 $u_n$ 有界时收敛, 而当 $u_n$ 无界时发散.
(180625) [中山大学2017数分] 求证: 方程 $e^x=ax^2+bx+c$ 的根不超过三个.
(180626) [中山大学2017数分] $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 在 $(a,b)$ 上右导数存在, 且 $f(a)=f(b)$. 求证: 存在 $xiin (a,b)$, 使得 $f'_+(xi)leq 0$.
(180627) [中山大学2017数分] 判别广义积分 $dps{int_0^infty f{ln (1+x)}{x^p} d x}$ 的收敛性, 并说明理由.
(180628) [中山大学2017数分] 讨论函数项级数 $dps{vsm{n}f{x^2}{(1+x^2)^n}}$ 在 $(-infty,+infty)$ 上的一致收敛性.
(180629) [中山大学2017数分] 把函数 $dps{f(x)=sex{x-pi}^2}$ 在 $(0,pi)$ 上展开成余弦级数, 并求级数 $dps{vsm{n}f{1}{n^2}}$ 的和.
(180630) [中山大学2017数分] 计算 $dps{iint_S (z^2+x) d y d z -z d x d y}$, 其中 $S$ 为曲面 $dps{z=f{x^2+y^2}{2}, 0leq zleq 2}$ 下侧.