快速幂：
计算a^n%p的值，怎么算呢？直接算当然可能溢出。我们有一条引理：(a*b)%p=((a%p)*(b%p))%p.在这个引理上进行指数上的合并从而得到快速幂算法。
具体地，有两种思路，一种是减小a值，以防溢出，一种是减小b值，加快计算。
怎么减小a值？a=a%p，就把a的值降到了p以下。对b呢，我们发现，( a%p)*(a%p)=(a^2)%p，如果a^n次方n为偶数，a^(2m)%p = ((a^2)^m)%p，如果n为奇数，就先单独乘一个a，剩下的又是偶数了，这样n为偶数时就可以把n减小一半，从而降低了b的规模。
大数乘取余：
计算(a*b)%p怎么办？((a%p)*(b%p))%p还是会溢出。
下面用到一种思想，神奇与上面的快速幂有异曲同工之妙，把b看成二进制表示。
举个栗子：4*13%p，看成是4*1101(2)%p，其实表示的是4*(1*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0)%p，那么我们在计算的时候就把b看成二进制，如果二进制最后一位是1，就说明这一位应该乘a取余，为零说明这一位不用乘a，从低位开始不断将b的二进制式右移，同时将a乘以2，等同于把基数平方，原因见上式。
代码：
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 long long q_mod(long long a,long long n,long long p) 4 { 5 a = a%p; 6 //首先降a的规模 7 long long sum = 1;//记录结果 8 while(n) 9 { 10 if(n&1) 11 { 12 sum = (sum*a)%p;//n为奇数时单独拿出来乘 13 } 14 a = (a*a)%p;//合并a降n的规模 15 n /= 2; 16 } 17 return sum; 18 } 19 long long q_mul(long long a,long long b,long long p) 20 { 21 long long sum = 0; 22 while(b) 23 { 24 if(b&1)//如果b的二进制末尾是零 25 { 26 (sum += a)%=p;//a要加上取余 27 } 28 (a <<= 1)%=p;//不断把a乘2相当于提高位数 29 b >>= 1;//把b右移 30 } 31 return sum; 32 }
可以发现两者非常的相似，差别在于结果变量的初值和计算中加号和乘号的区别。
参考文章：
这几篇写得还是比较清晰的：
六小聪，ACM算法：快速幂取模（详细），https://blog.csdn.net/dbc_121/article/details/77646508
ygeloutingyu，大数乘法取模运算（二进制），https://www.cnblogs.com/geloutingyu/p/5886626.html