二分图基础知识

昨天晚上开始看二分图，到现在基本的东西学会了

我就写一下我自己的理解

首先什么是二分图

顾名思义就是能分成两个部分的图

要注意的是，‘分’的是点

并且这两个集合（这里我们称作X集合和Y集合）内部所有的点之间没有边相连，也就是说X集合中任何两点之间都不会有边相连， Y亦然

定理1：无向图G为二分图的一个冲要条件是 1、G中至少包含两个顶点  2、G中所有的回路长度都必须是偶数

接下来是一些概念：

匹配：设G=<V, E>为二分图，如果 M⊆E，并且 M 中没有任何两边有公共端点，则成M为G的一个匹配。【也就是说匹配的实质是一些边的集合。】

最大匹配：边数最多的匹配

完备匹配与完全匹配：若 X 中所有的顶点都是匹配 M 中的端点。则称 M 为X的完备匹配。 若M既是 X-完备匹配又是 Y-完备匹配，则称M 为 G 的完全匹配。 

最小点覆盖：用尽可能少的点去覆盖所有的边【最小点覆盖集是点的集合，其个数为最小点覆盖数】

最大点独立：跟网络流中的最大点权独立集有点类似，这里指的是最大独立的个数

接下来是二分图的一些性质：

设无向图G有n个顶点，并且没有孤立顶点，那么，

1、点覆盖数 + 点独立数 = n

2、最小点覆盖数 = 二分图的最大匹配

3、最大点独立数 = n - 最小点覆盖数 = n - 最大匹配

二分图的判定：

判断一个图是不是二分图有两条1、n>= 2   2、不存在奇圈

我们可以用黑白染色的方法进行判断

const int maxn = 105;

int col[maxn];

bool is_bi(int u) {
    for(int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
        int v = G[u][i];
        if(col[v] == col[u]) return false;
        if(!col[v]) {
            col[v] = 3 - col[u];
            if(!is_bi(v)) return false;
        }
    }
    return true;
}

接下来介绍一下求二分图最大匹配的匈牙利算法。

匈牙利算法的思想是这样的：如果一个图中存在增广路，那么沿着这条路增广，匹配就会加1，知道不存在增广路为止

这里的增广路是这么定义的：对于一个未匹配或已经匹配好一部分的G来说

在X集合中的未匹配点出发，依次经过未匹配边匹配边未匹配边匹配边……而终点落在Y中的一个未访问点上，那么只要将该路上的匹配边于未匹配边调换，那么新的匹配必将比原来的匹配多1，【详细见http://blog.csdn.net/xuguangsoft/article/details/7861988中的图】//如果不理解可以看刘汝佳大白书，一会动手模拟一下程序即可

下面是匈牙利算法的邻接矩阵和邻接表程序

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int maxn = 105;
const int INF = 1000000000;

bool vis[maxn];//查询右集合中的点有没有被访问过
int link[maxn];//link[i]表示右集合中的i点是由左集合中的哪个点连接的
int G[maxn][maxn];//邻接矩阵
int x_cnt; int y_cnt;//左右集合的点的个数

bool find(int u) {//用来寻找增广路
    for(int i = 1; i <= y_cnt; i++) {//遍历右集合中的每个点
        if(!vis[i] && G[u][i]) {//没有被访问过并且和u点有边相连
            vis[i] = true;//标记该点
            if(link[i] == -1 || find(link[i])){ //该点是增广路的末端或者是通过这个点可以找到一条增广路
                link[i] = u;//更新增广路   奇偶倒置
                return true;//表示找到一条增广路
            }
        }
    }
    return false;//如果查找了右集合里的所有点还没找到通过该点出发的增广路，该点变不存在增广路
}

int solve() {
    int num = 0;
    memset(link, -1, sizeof(link));//初始化为-1表示  不与左集合中的任何元素有link
    for(int i = 1; i <= x_cnt; i++) {//遍历左集合
        memset(vis, false, sizeof(vis));//每一次都需要清除标记
        if(find(i)) num++;//找到一条增广路便num++
    }
    return num;
}

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int maxn = 33;
const int INF = 1000000000;

struct Node {
    int to;
    int next;
}q[MaxEdge];

struct MaxMatch() {
    int head[MaxEdge];
    int tot;
    int vis[Y_cnt];
    int link[Y_cnt];

    void init(int x_cnt) {
        this -> x_cnr = x_cnt;
        tot = 0;
    }

    void AddEdge(int u, int v) {
        q[tot].to = v;
        q[tot].next = head[u];
        head[u] = tot ++;
    }

    bool find(int u) {
        for(int i = head[u]; i; i = q[i].next) {
            int v = q[i].to;
            if(!vis[v]) {
                vis[v] = 1;
                if(link[v] == -1 || find(link[v])) {
                    link[v] = u;
                    return true;
                }
            }
        }
        return false;
    }

    int Match() {
        int num = 0;
        memset(link, -1, sizeof(link));
        for(int i = 0; i < x_cnt; i++) { // ±éÀú×󼯺Ï
            memset(vis, 0, sizeof(vis));
            if(find(X[i])) num++;
        }
        return num;
    }
};

可以用HDU2063熟悉模板

下面也是最重要也是最难理解的二分图的最佳匹配

上面介绍的匈牙利算法只能求出匹配边的条数，现在我们来加个条件：让二分图的每个边上都加一个权值

现在让你求出最大（最小）权值的匹配

这里有个常用算法--KM算法

首先要引入一个概念：可行顶标。

设顶点 Xi 的顶标为 lx[i]，顶点 Yj 的顶标为 ly[j]，顶点 Xi 与 Yj 之间的边权为 w[i][j] 。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边 (i,j)，lx[i]+ly[j]>=w[i,j] 始终成立。

那么Lx[i] 为i可行顶标，Ly[j]为j的可行顶标

从这个角度考虑，如果满足lx[i]+ly[j]==w[i][j]的条件下的一个子图中存在一个完美匹配的话，那么这个匹配就一定是原图的最大全匹配

证明：由于该匹配的可行顶标之和等于匹配的权值之和，而由于lx[i]+ly[j]>=w[i,j]其它的所有匹配的防方案权值一定会小于顶标之和。

所以问题就转化成了通过修改可行顶标，求得最理想的匹配。

KM算法调整的方法是： 根据最后一次不成功的寻找交错路的 DFS，取所有 i 顶点被访问到而 j 顶点没被访问到的边 (i,j) 的 lx[i]+ly[j]-w[i][j] 的最小值 d。将交错树中的所有左端点的顶标减小d，右端点的顶标增加 d。

经过这样的调整以后： 原本在导出子图里面的边，两边的顶标都变了，不等式的等号仍然成立，仍然在导出子图里面；原本不在导出子图里面的边，它的左端点的顶标减小了，右端点的顶标没有变，而且由于 d 的定义，不等式仍然成立，所以他就可能进入了导出子图里，这样经过不断的调整，最后就可以找到 一个有完美匹配的导出子图（原图的完备匹配），也就求出了该图的最大权匹配。

代码是刘汝佳大白书上抄的：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 500 + 10;
const int INF = 1000000000;

int W[maxn][maxn], n;
int Lx[maxn], Ly[maxn]; // 顶标
int left[maxn];         // left[i]为右边第i个点的匹配点编号
bool S[maxn], T[maxn];   // S[i]和T[i]为左/右第i个点是否已标记

bool match(int i) {
    S[i] = true;
    for(int j = 1; j <= n; j++) if (Lx[i]+Ly[j] == W[i][j] && !T[j]){
        T[j] = true;
        if (!left[j] || match(left[j])){
            left[j] = i;
            return true;
        }
    }
    return false;
}

void update() {
    int a = INF;
    for(int i = 1; i <= n; i++) if(S[i])
        for(int j = 1; j <= n; j++) if(!T[j])
            a = min(a, Lx[i]+Ly[j] - W[i][j]);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        if(S[i]) Lx[i] -= a;
        if(T[i]) Ly[i] += a;
    }
}

void KM() {
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        left[i] = Lx[i] = Ly[i] = 0;
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            Lx[i] = max(Lx[i], W[i][j]);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(;;) {
        for(int j = 1; j <= n; j++) S[j] = T[j] = false;
            if(match(i)) break; else update();
        }
    }
}

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 500 + 5; // 顶点的最大数目
const int INF = 1000000000;

// 最大权匹配
struct KM {
    int n;                  // 左右顶点个数
    vector<int> G[maxn];    // 邻接表
    int W[maxn][maxn];      // 权值
    int Lx[maxn], Ly[maxn]; // 顶标
    int left[maxn];         // left[i]为右边第i个点的匹配点编号，-1表示不存在
    bool S[maxn], T[maxn];  // S[i]和T[i]为左/右第i个点是否已标记

    void init(int n) {
        this->n = n;
        for(int i = 0; i < n; i++) G[i].clear();
        memset(W, 0, sizeof(W));
    }

    void AddEdge(int u, int v, int w) {
        G[u].push_back(v);
        W[u][v] = w;
    }

    bool match(int u){
        S[u] = true;
        for(int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
            int v = G[u][i];
            if (Lx[u]+Ly[v] == W[u][v] && !T[v]){
                T[v] = true;
                if (left[v] == -1 || match(left[v])){
                    left[v] = u;
                    return true;
                }
            }
        }
        return false;
    }

    void update(){
        int a = INF;
        for(int u = 0; u < n; u++) if(S[u])
            for(int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
                int v = G[u][i];
                if(!T[v]) a = min(a, Lx[u]+Ly[v] - W[u][v]);
            }
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            if(S[i]) Lx[i] -= a;
            if(T[i]) Ly[i] += a;
        }
    }

    void solve() {
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            Lx[i] = *max_element(W[i], W[i]+n);
            left[i] = -1;
            Ly[i] = 0;
        }
        for(int u = 0; u < n; u++) {
            for(;;) {
                for(int i = 0; i < n; i++) S[i] = T[i] = false;
                    if(match(u)) break; else update();
            }
        }
    }
};