题解 P3387 【【模板】缩点】

给定一个 nn 个点 mm 条边有向图，每个点有一个权值，求一条路径，使路径经过的点权值之和最大。你只需要求出这个权值和。

允许多次经过一条边或者一个点，但是，重复经过的点，权值只计算一次。

前置知识

强联通分量

拓扑排序

没学过的同学可以学一下。

分析

我们可以先用强联通分量对图进行缩点，那么现在，这张图就是 $DAG$ 了。我们再拓扑排序，然后就去 $dp$。

$dp$ 是这样的：

我们用 $f_i$ 表示以第 $i$ 个点结尾的最优路径，这个显然很好转移。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T &FF){
	T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
	for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
	for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
	FF*=RR;
}
template<typename T>inline void write(T x){
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar('0'+x%10);
}
const int MAXN=1e6+10,MAXM=1e6+10;
int s[MAXN],stop,dfn[MAXN],low[MAXN],scccnt,sccnum[MAXN],dfscnt,tot,he[MAXN],ne[MAXM<<1],ed[MAXM<<1],n,x,y,ds[MAXN],de[MAXN],m,dis[MAXN],tp,ans[MAXN],sum,f[MAXN];
queue<int>q;
vector<int>rd[MAXN];
vector<int>cd[MAXN];
void add(int x,int y){
	ed[++tot]=y;
	ne[tot]=he[x];
	he[x]=tot;
}
void tuopu(){
	for(int i=1;i<=scccnt;i++)
		if(!de[i])q.push(i);
	while(q.size()){
		int u=q.front();
		q.pop();
		ans[++tp]=u;
		for(auto i:cd[u])
			if(--de[i]==0)q.push(i);
	}
}
inline void tarjan(int now){
	dfn[now]=low[now]=++dfscnt;
	s[stop++]=now;
	for(int i=he[now];i;i=ne[i]){
		if(!dfn[ed[i]]){
			tarjan(ed[i]);
			low[now]=min(low[now],low[ed[i]]);
		}else if(!sccnum[ed[i]]){
			low[now]=min(low[now],dfn[ed[i]]);
		}
	}
	if(dfn[now]==low[now]){
		scccnt++;
		do{
			sccnum[s[--stop]]=scccnt;
			ds[scccnt]+=dis[s[stop]];
		}while(s[stop]!=now);
	}
}
int main(){
	read(n);read(m);
	for(int i=1;i<=n;i++)read(dis[i]);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		read(x);read(y);
		add(x,y);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!dfn[i])tarjan(i);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=he[i];j;j=ne[j])
			if(sccnum[i]!=sccnum[ed[j]]){
				de[sccnum[ed[j]]]++;
				cd[sccnum[i]].push_back(sccnum[ed[j]]);
				rd[sccnum[ed[j]]].push_back(sccnum[i]);
			}
	tuopu();
	for(int i=1;i<=tp;i++){
        f[ans[i]]=ds[ans[i]];
        for(auto j:rd[ans[i]])
        	f[ans[i]]=max(f[ans[i]],f[j]+ds[ans[i]]);
    }
    for(int i=1;i<=scccnt;i++)sum=max(f[i],sum);
    cout<<sum;
	return 0;
}