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  • P1049送给圣诞夜的礼品(矩阵十大问题之四)

    https://vijos.org/p/1049

    P1049送给圣诞夜的礼品
     
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    描述

    当小精灵们把贺卡都书写好了之后。礼品准备部的小精灵们已经把所有的礼品都制作好了。可是由于精神消耗的缘故,他们所做的礼品的质量越来越小,也就是说越来越不让圣诞老人很满意。可是这又是没有办法的事情。

    于是圣诞老人把礼品准备部的小精灵们聚集起来,说明了自己的看法:“现在你们有n个礼品,其质量也就是降序排列的。那么为了使得这个礼品序列保持平均,不像现在这样很有规律的降序,我这里有一个列表。”
    “列表共有m行,这m行都称作操作(不是序列),每一行有n个数字,这些数字互不相同而且每个数字都在1到n之间。一开始,礼品的序列就是现在礼品所处的位置,也就是说,一开始礼品的序列就是1、2、3、4……n;那么然后,我们看列表的第一行操作,设这一行操作的第i个数字为a[i],那么就把原来序列中的第a[i]个礼物放到现在这个序列的第i的位置上,然后组成新的礼物序列。然后,看列表的第二行操作……、第三行操作……一直到最后一行操作,重复上面的操作。当最后一行的操作结束,组成了的序列又按照第一行来操作,然后第二行操作……第三行操作……一直循环下去,直到一共操作了k行为止。最后生成的这个序列就是我们最终礼品送给孩子们的序列了。大家明白了吗?”
    “明白了!”
    等圣诞老人一个微笑走后,大家却开始忙碌了。因为m值可能很大很大,而小精灵们的操作速度有限。所以可能在圣诞老人去送礼物之前完成不了这个任务。让他们很是恼火……

    格式

    输入格式

    第一行三个数,n,m和k。

    接下来m行,每行n个数。

    输出格式

    一行,一共n个数,表示最终的礼品序列。n个数之间用一个空格隔开,行尾没有空格,需要回车。

    样例1

    样例输入1[复制]

     
    7 5 8
    6 1 3 7 5 2 4
    3 2 4 5 6 7 1
    7 1 3 4 5 2 6
    5 6 7 3 1 2 4
    2 7 3 4 6 1 5

    样例输出1[复制]

     
    2 4 6 3 5 1 7

    题意:初始数列为1.2.3...n;然后给了m个操作,每个操作都有n个数,表示把第a[i]的数放到第i位置上了,题目让求经过k次操作后的数列
    分析:后的序列。m<=10, k<2^31。
        首先将这m个置换“合并”起来(算出这m个置换的乘积),然后接下来我们需要执行这个置换k/m次(取整,若有余数则剩下几步模拟即可)。注意任意一个置换都可以表示成矩阵的形式。例如,将1 2 3 4置换为3 1 2 4,相当于下面的矩阵乘法:
    (第i行第a[i] 为1;因为要把第a[i]个数放到第i个位置)
         http://www.matrix67.com/blogimage/200708044.gif
        置换k/m次就相当于在前面乘以k/m个这样的矩阵。我们可以二分计算出该矩阵的k/m次方,再乘以初始序列即可。做出来了别忙着高兴,得意之时就是你灭亡之日,别忘了最后可能还有几个置换需要模拟。

     1 #include <iostream>
     2 #include <cstring>
     3 #include <algorithm>
     4 #include <cstdio>
     5 using namespace std;
     6 struct Mat
     7 {
     8     int mat[110][110];
     9 };
    10 Mat p[15];
    11 int n,m,k;
    12 Mat operator * (Mat x, Mat y)
    13 {
    14     Mat c;
    15     memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat));
    16     for(int t = 1; t <= n; t++)
    17     {
    18         for(int i = 1; i <= n; i++)
    19         {
    20             for(int j = 1; j <= n; j++)
    21                 c.mat[i][j] += x.mat[i][t] * y.mat[t][j];
    22         }
    23     }
    24     return c;
    25 }
    26 Mat operator ^ (Mat x, int t)
    27 {
    28     Mat c;
    29     for(int i = 1; i <= n; i++)
    30         for(int j = 1; j <= n; j++)
    31             c.mat[i][j] = (i == j);
    32     while(t)
    33     {
    34         if(t & 1)
    35             c = c * x;
    36         x = x * x;
    37         t >>= 1;
    38     }
    39     return c;
    40 }
    41 int main()
    42 {
    43     while(scanf("%d%d%d", &n,&m,&k) != EOF)
    44     {
    45         Mat res,c,a;
    46         for(int i = 1; i <= n; i++)
    47             a.mat[i][1] = i;
    48 
    49         for(int i = 1; i <= n; i++)
    50             for(int j = 1; j <= n; j++)
    51                 res.mat[i][j] = (i == j);
    52 
    53         for(int i = 1; i <= m; i++)
    54         {
    55             memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat));
    56             for(int j = 1; j <= n; j++)
    57             {
    58                 scanf("%d", &p[i].mat[j][1]);
    59                 c.mat[j][ p[i].mat[j][1] ] = 1;
    60             }
    61             res = c * res;
    62         }
    63 
    64         res = res ^ (k / m);
    65         a = res * a;
    66         int temp = k % m;
    67         for(int i = 1; i <= temp; i++)
    68         {
    69             memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat));
    70             for(int j = 1; j <= n; j++)
    71                 c.mat[j][ p[i].mat[j][1] ] = 1;
    72             a = c * a;
    73         }
    74         for(int i = 1; i < n; i++)
    75         {
    76            printf("%d ",a.mat[i][1]);
    77         }
    78         printf("%d
    ",a.mat[n][1]);
    79 
    80     }
    81     return 0;
    82 }
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