线段树

1、什么是线段树？

线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。

使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN)。而未优化的空间复杂度为2N，实际应用时一般还要开4N的数组以免越界，因此有时需要离散化让空间压缩。

2、构建线段树

通过像二叉树一样递归建树，但需要记录做边界和右边界。

3、lazy

即懒标记，我们的加减、乘除都是区间修改操作，如果将线段树拆开在每个叶子结点上面进行修改再维护，最坏情况下我们修改的复杂度就变成了O(mnlogn)，十分慢。于是我们引入懒标记。每一个线段树的结点都会有一个加法的标记和乘法的标记，如果我们想要修改的区间覆盖了结点的对应区间，我们不对其中的每一个元素进行修改，而是只更新两个标记和总值，这样就巧妙地优化了程序的复杂度。

4、区间修改

判断要进行修改的区间是不是包括了这个结点的区间，如果包括了，就直接修改这个点的两个标记和总值。如果没有包括，就往这个节点的孩子递归，直到找到被包括的区间进行修改。进行修改时，为了方便，可以先把加法标记进行相乘，然后使用乘法标记，简单来说，就是（sum+lazy_+)*lazy_x=sum*lazy_x+lazy_+*lazy_x。

5、区间查询

思路和区间修改相类似，从第一个结点开始 ，如果结点被覆盖，就返回它维护的区间和sum。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
long long n,m,k,x,y;
long long a[100000];

struct tree{
    long long l,r,sum,tag;
}t[400000];


long long ls(long long rt){return rt << 1;}
long long rs(long long rt){return rt << 1 | 1;}

void build(long long rt,long long l,long long r){
    t[rt].l = l,t[rt].r = r;
    if(l == r){
        t[rt].sum = a[l];
        return;
    }
    long long mid = (l + r) >> 1;
    build(ls(rt),l,mid);
    build(rs(rt),mid+1,r);
    t[rt].sum = t[ls(rt)].sum + t[rs(rt)].sum;
}

//root

void push_down(long long rt){
    t[ls(rt)].sum += t[rt].tag * (t[ls(rt)].r - t[ls(rt)].l + 1);
    t[rs(rt)].sum += t[rt].tag * (t[rs(rt)].r - t[rs(rt)].l + 1);

    t[ls(rt)].tag += t[rt].tag;
    t[rs(rt)].tag += t[rt].tag;

    t[rt].tag = 0;
}

void change(long long rt,long long l,long long r,long long x){
    if(l <= t[rt].l && r >= t[rt].r){
        t[rt].sum += (t[rt].r - t[rt].l + 1) * x;
        t[rt].tag += x;
        return;
    }

    if(t[rt].tag) push_down(rt);

    if(l <= t[ls(rt)].r){
        change(ls(rt),l,r,x);
    }
    if(r >= t[rs(rt)].l){
        change(rs(rt),l,r,x);
    }

    t[rt].sum = t[ls(rt)].sum + t[rs(rt)].sum;
}

long long check(long long rt,long long l,long long r){
    if(l <= t[rt].l && r >= t[rt].r){
        return t[rt].sum;
    }

    if(t[rt].tag) push_down(rt);

    long long res = 0;

    if(l <= t[ls(rt)].r){
        res += check(ls(rt),l,r);
    }
    if(r >= t[rs(rt)].l){
        res += check(rs(rt),l,r);
    }
    return res;
}

int main(){
    cin >> n >> m;
    for(long long i = 1;i <= n; i++) cin >> a[i];
    build(1,1,n);

    for(long long i = 1;i <= m; i++){
        cin >> k;
        if(k == 1){
            cin >> x >> y >> k;
            change(1,x,y,k);
        }else{
            cin >> x >> y;
            cout << check(1,x,y) << endl;
        }
    }
    return 0;
}

借鉴大佬：https://www.cnblogs.com/Cao-Yucong/p/12164576.html