已知：等腰梯形 $ABCD$ 中, $ADparallel BC$, 在 $AB$ 外作正方形 $ABPQ$, 在 $CD$ 外作正方形 $CDRS$, $QR$ 交 $AD$ 于 $E$, $PS$ 交 $BC$ 于 $F$.
求证: $EFperp BC$.
分析:
由等腰梯形及正方形性质, 考虑构造全等三角形.
证明:
过 $Q, S$ 分别作 $AH$ 垂线交 $AH$(或其延长线)于 $G, H$.
由 $angle{QGA} = angle{RHD} = 90^{circ}, angle{AQG} = angle{GAB} = angle{ABC} = angle{DCB} = angle{DRH}, AQ = AB = CD = DR$,
可得 $ riangle{AQG} cong riangle{DRH}$, 进而易证 $ riangle{EQG}cong riangle{ERH} Rightarrow E$ 是 $GH$ 中点.
同理, 过 $P, S$ 分别作 $BC$ 垂线交 $BC$(或其延长线)于 $I, J$, 易证 $F$ 是 $IJ$ 之中点.
$ecause riangle{AQG}cong riangle{BPI}cong riangle{DRH}cong riangle{CSJ}$,
$ herefore$ 四边形 $GIJH$ 是等腰梯形.
而 $E, F$ 分别是上下底的中点, 故 $EF perp BC$.
Q$cdot$E$cdot$D
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