设抛物线 $y = x^2 - 8x + 12$ 交 $x$ 轴于 $A(x_1, 0), B(x_2, 0)$, ($x_1 < x_2$) 两点, 以线段 $AB$ 为非直径的弦的圆交直线 $l_1: y = -x + 6$ 于 $E$ 点, 与直线 $l_2: y = x - 6$ 相交于 $F$ 点. 当直线 $EF$ 交直线 $l_1$ 成 $30^{circ}$ (即 $angle{FEB} = 30^{circ}$)时, 试求 $BE, BF$ 的长.
解答:
易知 $A(2, 0)$, $B(6, 0)$, $l_1, l_2$ 交于 $B$, 且 $l_1 perp l_2$.
即 $angle{EBF} = 90^circ Rightarrow EF$ 是直径,
$Rightarrow angle{EAF = 90^circ}, angle{AFE} = angle{ABE} = 45^circ,$
$Rightarrow AE = AF$, 即 $ riangle{AEF}$ 是等腰直角三角形.
$ecause angle{FEB} = 30^circ$, 设 $EF = 2r$, $BF = r$, $BE = sqrt3r$,
$ herefore AE = sqrt2 r$.
在 $ riangle{ABE}$ 中, 由余弦定理知 $$AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2ABcdot BE cdot cos45^circ$$ $$Rightarrow 2r^2 = 16 + 3r^2 - 2cdot4cdotsqrt3rcdot{sqrt2over2}$$ $$Rightarrow r^2 - 4sqrt6r + 16 = 0$$ $$Rightarrow r = 2sqrt6 pm2sqrt2$$ $$Rightarrow egin{cases}BE = 6sqrt2 - 2sqrt6\ BF = 2sqrt6 - 2sqrt2end{cases}, egin{cases}BE = 6sqrt2 + 2sqrt6\ BF = 2sqrt6 + 2sqrt2end{cases}.$$
扫描关注“奥数学苑”微信公众号(ID: aoshu_xueyuan)
