1. $314^{162}$ 除以 $163$ 的余数是多少?
解答:
注意到 $163$ 是素数, 且 $(314, 163) = 1$, 因此由 FLT, $$314^{162} equiv 1 pmod{163}.$$
2. $314^{159}$ 除以 $7$ 的余数是多少?
解答:
由 FLT, $$314^{6} equiv 1 pmod{7} Rightarrow 314^{159} equiv 314^3 equiv (-1)^3 equiv 6 pmod{7}.$$
3. 证明 Wilson 定理之逆定理: 若 $(n-1)! equiv -1 pmod{n}$, 则 $n$ 是素数.
解答:
令 $n = ab$, $a e n$. 由此可知 $$n ig{|} (n-1)! + 1 Rightarrow a ig{|} (n-1)! + 1$$ 而 $a ig{|} (n-1)! Rightarrow a ig{|} 1$.
因此 $a = 1$, 即 $n$ 是素数.
4. 证明: 若 $a$, $b$ 均不被素数 $n+1$ 整除, 则 $a^n - b^n$ 被 $n+1$ 整除.
解答:
由 FLT, $$a^n equiv b^n equiv 1 pmod{n+1} Rightarrow a^n - b^n equiv 0 pmod{n+1}.$$
5. $n$ 是什么数时, 有 $p ig{|} (1 + n + n^2 + cdots + n^{p-2})$, 其中 $p$ 是素数.
解答:
易知 $n otequiv 0 pmod{p}$, 即 $(n, p) = 1$, 由 FLT, $$n^{p-1} equiv 1 pmod{p} Rightarrow n^{p-1} - 1 equiv 0 pmod{p}$$ $$Rightarrow (n-1)left(1 + n + n^2 + cdots + n^{p-2} ight) equiv 0 pmod {p}.$$ 因此若 $n otequiv 0, 1 pmod{p}$ 则 $p ig{|} left(1 + n + n^2 + cdots + n^{p-2} ight)$.
6. 设 $p$ 是奇素数, $n$ 是正整数且满足 $n = dfrac{2^{2p} - 1}{3}$, 证明: $$2^{n-1} equiv 1 pmod{n}.$$ 解答: $$n = dfrac{2^{2p} - 1}{3} Rightarrow 3n = 2^{2p} - 1 Rightarrow 3(n-1) = 4left(2^{2(p-1)} - 1 ight) = 4left(2^{p-1} + 1 ight)left(2^{p-1} - 1 ight).$$ 由 FLT, $$2^{p-1} equiv 1 pmod{p} Rightarrow p ig{|} left(2^{p-1} - 1 ight) Rightarrow p ig{|} (n-1).$$ 而 $n-1$ 是偶数, $p$ 是奇素数, 因此 $$2p ig{|} (n-1) Rightarrow left(2^{2p} - 1 ight) ig{|} left(2^{n-1} - 1 ight).$$ 而 $n ig{|} left(2^{2p} - 1 ight)$, 因此 $$n ig{|} left(2^{n-1} - 1 ight) Rightarrow 2^{n-1} equiv 1 pmod{n}.$$
7. 解同余方程组: $$egin{cases}x equiv 2 pmod{11}\ x equiv 5 pmod{7}\ x equiv 4 pmod{5} end{cases}$$ 解答:
由 CRT, $$egin{cases}35b_1 equiv 1 pmod{11}\ 55b_2 equiv 1 pmod{7}\ 77b_3 equiv 1 pmod{5}end{cases} Rightarrow egin{cases}b_1 = 6\ b_2 = 6\ b_3 = 3end{cases}$$ $$Rightarrow x = a_1b_1M_1 + a_2b_2M_2 + a_3b_3M_3 + cM$$ $$= 2cdot6cdot35 + 5cdot6cdot55 + 4cdot3cdot77 + 385c$$ $$= 2994 + 385c = 299 + 385l, linmathbf{Z}.$$ 另解: $$x equiv 2 pmod{11} Rightarrow x = 11a + 2 Rightarrow 11a + 2 equiv 5 pmod{7} Rightarrow a equiv 6 pmod{7}$$ $$Rightarrow x = 11(7b+6) + 2 = 77b + 68$$ $$Rightarrow 77b + 68 equiv 4 pmod{5} Rightarrow b equiv 3 pmod{5}$$ $$Rightarrow x = 77(5c + 3) + 68 = 385c + 299, cinmathbf{Z}.$$
8. 解同余方程组: $$egin{cases}x equiv 1 pmod{7}\ 3x equiv 4 pmod{5}\ 8x equiv 4 pmod{9} end{cases}$$ 解答: $$egin{cases}x equiv 1 pmod{7}\ 3x equiv 4 pmod{5}\ 8x equiv 4 pmod{9} end{cases} Rightarrow egin{cases}x equiv 1 pmod{7}\ x equiv 3 pmod{5}\ x equiv 5 pmod{9} end{cases}.$$ 由上题两种解法均可求出 $x = 315l + 113, linmathbf{Z}$.