zoukankan      html  css  js  c++  java
  • 初等数学问题解答-2:11的整除性

    本题适合小学五年级以上数学爱好者解答。

    问题:

    证明以下表达式可以被 $11$ 整除:$$5^{5k+1} + 4^{5k+2} + 3^{5k}.$$ 其中 $k$ 是任意自然数。

    解答:

    首先对原表达式进行化简:$$5^{5k+1} + 4^{5k+2} + 3^{5k} = 5cdot 5^{5k} + 16 cdot 4^{5k} + 3^{5k}.$$ 欲证明该表达式可以被 $11$ 整除,需要考虑 $5^{5k}$、$4^{5k}$、$3^{5k}$ 除以 $11$ 的余数情况。

    $$5^0 = 1 equiv 1 pmod{11}, 5^1 = 5 equiv 5 pmod{11}, 5^2 equiv 3 pmod{11},$$ $$5^{3} equiv 4 pmod{11}, 5^{4} equiv 9 pmod{11}, 5^{5} equiv 1 pmod{11};$$ $$4^0 = 1 equiv 1 pmod{11}, 4^1 = 4 equiv 4 pmod{11}, 4^2 equiv 5 pmod{11},$$ $$4^{3} equiv 9 pmod{11}, 4^{4} equiv 3 pmod{11}, 4^{5} equiv 1 pmod{11};$$ $$3^0 = 1 equiv 1 pmod{11}, 3^1 = 3 equiv 3 pmod{11}, 3^2 equiv 9 pmod{11},$$ $$3^{3} equiv 5 pmod{11}, 3^{4} equiv 4 pmod{11}, 3^{5} equiv 1 pmod{11}.$$ 由此可以得出,$$5^{5k} equiv 1 pmod{11}, 4^{5k} equiv 1 pmod{11}, 3^{5k} equiv 1 pmod{11}.$$ 因此 $$5^{5k+1} + 4^{5k+2} + 3^{5k} equiv 5 + 16 + 1 equiv 0 pmod{11}.$$

    Q$cdot$E$cdot$D

    作者简介:

    赵胤,海归双硕士(数学建模 & 数学教育),中国数学奥林匹克一级教练员,曾执教于首师大附属实验学校及北京四中,目前担任猿辅导数学竞赛教学产品中心副总监。在10余年的教学生涯中,培养了300余名国内外数学竞赛获奖选手,包括华杯赛、小奥赛、全国初高中数学联赛一等奖,全美数学竞赛(AMC)、美国数学邀请赛(AIME)满分等。

    联系作者:zhaoyin.math@foxmail.com

     

  • 相关阅读:
    时间复杂度计算(二)
    程序时间复杂度计算(一)
    一个图像算法岗的面试总结
    文本小票的一种无监督聚类方法
    多个C3P0的java举例
    基于投影和众数特点的粘连sku分割
    GLSL 中的光照计算
    openGL 提升渲染性能 之 顶点数组 VBO IBO VAO
    C++ 中的返回值
    游戏中逻辑线程和逻辑线程的并行
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/zhaoyin/p/7106731.html
Copyright © 2011-2022 走看看