本题适合小学六年级以上数学爱好者解答。
问题：
证明：$3^{105} + 4^{105}$ 可以分别被 $13$、$49$、$181$、$379$ 整除，但不可以被 $5$ 或 $11$ 整除。
解答：
可以考虑以下基本公式：$$a^{n} + b^{n} = (a + b)left(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - cdots - ab^{n-2} + b^{n-1} ight)$$ 其中 $n$ 是奇数。
换句话说，当 $n$ 是奇数时，$(a + b) | left(a^n + b^n ight)$. $$ecause 3^{105} + 4^{105} = left(3^3 ight)^{35} + left(4^3 ight)^{35} = 27^{35} + 64^{35},$$ $$ herefore (27 + 64) | left(3^{105} + 4^{105} ight).$$ 而 $91 = 7 imes13$，即 $3^{105} + 4^{105}$ 可以被 $13$ 整除。
同理可得：$$3^{105} + 4^{105} = left(3^5 ight)^{21} + left(4^5 ight)^{21} Rightarrow left(3^5 + 4^5 ight) | left(3^{105} + 4^{105} ight).$$ $3^5 + 4^5 = 7 imes181$，因此，$3^{105} + 4^{105}$ 可以被 $181$ 整除。$$3^{105} + 4^{105} = left(3^7 ight)^{15} + left(4^7 ight)^{15} Rightarrow left(3^7 + 4^7 ight) | left(3^{105} + 4^{105} ight).$$ $3^7 + 4^7 = 49 imes379$，因此，$3^{105} + 4^{105}$ 可以分别被 $49$ 和 $379$ 整除。
另一方面，由 Fermat 小定理，$$3^4 equiv 1 pmod{5} Rightarrow 3^{105} equiv left(3^4 ight)^{26} imes 3 equiv 3 pmod{5},$$ $$4^4 equiv 1 pmod{5} Rightarrow 4^{105} equiv left(4^4 ight)^{26} imes 4 equiv 4 pmod{5},$$ 因此 $3^{105} + 4^{105} equiv 3 + 4 equiv 2 pmod{5}$，即 $3^{105} + 4^{105}$ 不可以被 $5$ 整除。
类似的，$$3^{10} equiv 1 pmod{11} Rightarrow 3^{105} equiv 3^5 equiv 1 pmod{11},$$ $$4^{10} equiv 1 pmod{11} Rightarrow 4^{105} equiv 4^5 equiv 1 pmod{11},$$ 因此 $3^{105} + 4^{105} equiv 1 + 1 equiv 2 pmod{11}$，即 $3^{105} + 4^{105}$ 不可以被 $11$ 整除。
Q$cdot$E$cdot$D
作者简介：
赵胤，海归双硕士（数学建模 & 数学教育），中国数学奥林匹克一级教练员，曾执教于首师大附属实验学校及北京四中，目前担任猿辅导数学竞赛教学产品中心副总监。在10余年的教学生涯中，培养了300余名国内外数学竞赛获奖选手，包括华杯赛、小奥赛、全国初高中数学联赛一等奖，全美数学竞赛（AMC）、美国数学邀请赛（AIME）满分等。
联系作者：zhaoyin.math@foxmail.com