本文题目适合初一以上数学爱好者解答。
暑期课程主要涉及到的内容包括：有理数计算、一次方程与方程组、一次不等式与不等式组、绝对值方程与不等式、整式的运算、因式分解等。
1、解关于 $x$ 的方程: $${xover a} + {xover b-a} = {aover a+b}, (a e0, a^2 e b^2).$$ 解答:
整理后分类讨论即可. $$b(a+b)x = a^2(b-a)Rightarrow egin{cases}x = dfrac{a^2(b-a)}{b(a+b)}, (b e 0)\ xinphi. (b = 0) end{cases}$$
2、已知关于 $x$ 的方程 $${a-xover2} = {bx-3over3}$$ 的解为 $x=2$, 求代数式 $displaystyle{bover a} + {aover b}$ 的值.
解答: $$frac{a - 2}{2} = frac{2b - 3}{3} Rightarrow 3a - 6 = 4b - 6 Rightarrow frac{a}{b} = frac{4}{3}.$$ $$Rightarrow frac{a}{b} + frac{b}{a} = frac{3}{4} + frac{4}{3} = frac{25}{12}.$$
3、若方程组 $egin{cases}mx + y + z = m+1\ x + my + z = m+2\ x + y + mz = m + 3 end{cases}$ 无解, 则 $m$ 的值是多少?
解答:
三式相加得 $$(m+2)(x + y + z) = 3(m+2) Rightarrow x + y + z = 3.$$ $$Rightarrow egin{cases}(m-1)x = m-2\ (m-1)y = m - 1\ (m-1)z = m end{cases}Rightarrow m = 1.$$
4、求方程 $(2x - y)(x - 2y) = 5$ 的整数解.
解答: $$egin{cases}2x - y = 5, -5, 1, -1\ x - 2y = 1, -1, 5, -5 end{cases}$$ $$Rightarrow (x, y) = (3, 1), (-3, -1), (-1, -3), (1, 3).$$
5、求方程 $m^2 - n^2 = 60$ 的正整数解.
解答: $$(m + n)(m - n) = 2^2 imes 3 imes 5$$ $$Rightarrow egin{cases}m + n = 30, 10\ m - n = 2, 6 end{cases}$$ $$Rightarrow (m, n) = (16, 14), (8, 2).$$
6、一个正整数, 减去 $4$ 后是一个完全平方数, 加上 $9$ 后也是一个完全平方数, 求这个正整数.
解答: $$egin{cases}x - 4 = m^2\ x + 9 = n^2 end{cases} Rightarrow (n + m)(n - m) = 13$$ $$Rightarrow egin{cases}n+m = 13\ n - m = 1 end{cases} Rightarrow (m, n) = (6, 7).$$ $$Rightarrow x = 40.$$
7、已知 $xyz e 0$, 且 $2x - y + z = 0$, $x - 2y + 3z = 0$, 求代数式 $displaystyle{x^2 + 3y^2 + 5z^2 over 2x^2 + 4y^2 + 7z^2}$ 的值.
解答: $$egin{cases}2x - y + z = 0\ x - 2y + 3z = 0 end{cases} Rightarrow egin{cases}2x - y = -z\ x - 2y = -3z end{cases}$$ $$Rightarrow egin{cases}x = dfrac{1}{3}z\ y = dfrac{5}{3}z\ z = z end{cases}$$ $$Rightarrow frac{x^2 + 3y^2 + 5z^2}{2x^2 + 4y^2 + 7z^2} = frac{121}{165} = frac{11}{15}.$$
8、解不等式: $ displaystyle{2x - 1 over 3} - 1 ge {3x + 2over 6} + {xover 2}.$
解答: $$2(2x - 1) - 6 ge 3x + 2 + 3x$$ $$Rightarrow 2x le -10$$ $$Rightarrow x le -5.$$
9、解不等式: $ displaystyle{5x + 8 over 3x - 4} ge 1.$
解答: $$frac{5x + 8 - 3x + 4}{3x - 4} ge 0$$ $$Rightarrow frac{2x + 12}{3x - 4} ge 0$$ $$Rightarrow (2x + 12)(3x - 4) ge 0$$ $$Rightarrow x le -6, x > frac{4}{3}.$$
10、关于 $x$ 的不等式 $displaystyle{4x + a over 3} > 1$ 的解都是不等式 $-displaystyle{2x + 1over 3} < 0$ 的解, $a$ 的取值范围是什么?
解答: $$4x = a > 3 Rightarrow x > frac{3-a}{4}.$$ 另一方面, $$-frac{2x + 1}{3} < 0 Rightarrow 2x + 1 > 0 Rightarrow x > -frac{1}{2}.$$ 由此可知 $$frac{3 - a}{4} ge -frac{1}{2} Rightarrow 3 - a ge -2Rightarrow a le 5.$$
11、不等式组 $egin{cases}a-1 < x < a+2\ 3 < x < 5 end{cases}$ 的解集是 $3 < x < a+2$, $a$ 的取值范围是什么?
解答: $$egin{cases}a- 1 < x < a + 2\ 3 < x < 5 end{cases}Rightarrow egin{cases}a- 1 le 3\ a + 2 le 5\ a + 2 > 3end{cases}$$ $$Rightarrow 1 < a le 3.$$
12、解不等式组: $$egin{cases}3x + 5 > 4x - 3\ displaystyle{2x - 4over 3} < 1\ displaystyle{1-xover2} < 4(2x - 3) < {11xover2}\ 2x - 3 > displaystyle{1over2}(x-7) end{cases}$$ 解答:
原不等式组 $$Rightarrow egin{cases}x < 8\ 2x - 4 < 3\ 1 - x < 8(2x - 3)\ 8(2x - 3) < 11x\ 4x - 6 > x - 7 end{cases} Rightarrow egin{cases}x < 8\ x < dfrac{7}{2}\ x > dfrac{25}{17}\ x < dfrac{24}{5}\ x > -dfrac{1}{3} end{cases}$$ $$Rightarrow frac{25}{17} < x < frac{7}{2}.$$
13、解关于 $x$ 的不等式组 $$egin{cases}x - 2 > 3(x-a)\ displaystyle{ax - 1over2} > 2x - 3 end{cases}$$ 解答:
原不等式组 $$Rightarrow egin{cases}2x < 3a - 2\ (a - 4)x > -5 end{cases}$$ $$Rightarrow egin{cases}x < dfrac{1}{2}(3a - 2)\ (a - 4)x > -5 end{cases}$$ 对第二个不等式进行分类讨论:
(1) $a = 4$ 时, $$egin{cases}x < 5\ 0 > -5 end{cases} Rightarrow x < 5.$$ (2) $a > 4$ 时, $$egin{cases}x < dfrac{1}{2}(3a - 2)\ x > dfrac{-5}{a - 4} end{cases} Rightarrow -frac{5}{a - 4} < x < frac{1}{2}(3a - 2).$$ (3) $a < 4$ 时, $$egin{cases}x < dfrac{1}{2}(3a - 2)\ x < dfrac{-5}{a - 4} end{cases} Rightarrow x < frac{1}{2}(3a - 2).$$ 最后一步成立原因是 $$frac{1}{2}(3a - 2) - frac{-5}{a - 4} = frac{(3a - 2)(a - 4) + 10}{2(a - 4)} = frac{3left(a - frac{7}{3} ight)^2 + frac{5}{3}}{2(a - 4)} < 0.$$ 综上 $$egin{cases}x < 5, (a = 4)\ -dfrac{5}{a - 4} < x < dfrac{1}{2}(3a - 2), (a > 4)\ x < dfrac{1}{2}(3a - 2), (a < 4)end{cases}$$
14、若 $a, b, c$ 为整数, 且 $|a-b|^{19} + |c-a|^{19} = 1$, 计算 $|c-a| + |a-b| + |b-c|$ 的值是多少?
解答:
由已知易得 $$egin{cases}|a - b|^{19} = 0, 1\ |c - a|^{19} = 1, 0 end{cases}$$ $$Rightarrow egin{cases}|a - b| = 0, 1\ |c - a| = 1, 0 end{cases}$$ $$Rightarrow egin{cases}|a - b| = 0, 1\ |c - a| = 1, 0\ |c - b| = 1, 1 end{cases}$$ 因此原式的值为 $2$.
15、已知 $|x| le 1$, $|y| le 1$, $|x + y| + |y + 1| + |2y - x - 4|$ 的最大值与最小值之和是多少?
解答:
可以参考第7章例题10.
最大值为 $7$, 最小值为 $3$, 其和为 $10$.
16、设实数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=0$, $abc > 0$, 若 $$x = {aover|a|} + {bover|b|} + {cover|c|},$$ $$y = aleft({1over b} + {1over c} ight) + bleft({1over c} + {1over a} ight) + cleft({1over a} + {1over b} ight),$$ 则$x+2y + 3xy =$?
解答:
易知 $a, b, c$ 一正二负, $$Rightarrow x = -1, y = left(frac{1}{a} + frac{1}{b} + frac{1}{c} ight)left(a + b + c ight) - 3 = -3.$$ $$Rightarrow x + 2y + 3xy = -1 - 6 + 9 = 2.$$
17、已知 $x^2 + 3x + 2$ 能整除 $x^4 + ax^2 - bx + 2$, 则 $ab + a + b$ 的值是多少?
解答:
令 $f(x) = x^4 + ax^2 - bx + 2$, $$x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2).$$ $$Rightarrow egin{cases}f(-1) = 0\ f(-2) = 0 end{cases} Rightarrow egin{cases}1 + a + b + 2 = 0\ 16 + 4a + 2b + 2 = 0 end{cases}$$ $$Rightarrow egin{cases} a = -6\ b = 3end{cases} Rightarrow ab + a + b = -21.$$
18、当 $50 - (2a + 3b)^2$ 达到最大值时, $1 + 4a^2 - 9b^2 $ 的值是多少?
解答:
$50 - (2a + 3b)^2 le 50$, 当 $2a + 3b = 0$ 时取等号. $$1 + 4a^2 - 9b^2 = 1 + (2a + 3b)(2a - 3b) = 1.$$
19、因式分解: $left(1+x+x^2+x^3 ight)^2 - x^3$.
解答: $$left(1 + x + x^2 + x^3 ight)^2 - x^3 = left(1 + x + x^2 ight)^2 + 2x^3(1 + x + x^2) + x^6 - x^3$$ $$= left(x^2 + x + 1 ight)^2 + 2x^3(x^2 + x + 1) + x^3(x - 1)(x^2 + x + 1)$$ $$= left(x^2 + x + 1 ight)left(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 ight).$$
20、两个正整数的和比这两数的积小 $1000$, 且其中一个正整数是完全平方数, 求其中较大的一个正整数.
解答:
由题意有 $$m^2 + n + 1000 = m^2n$$ $$Rightarrow m^2n - m^2 - n + 1 = 1001$$ $$Rightarrow (m^2 - 1)(n - 1) = 1001 = 7 imes11 imes13.$$ $$Rightarrow m^2 - 1 = 1001, 1, 7, 143, 91, 11, 13, 77.$$ 只有 $m^2 = 144$ 是完全平方数. $$Rightarrow m = 12, n = 8.$$ 即较大数是 $144$.
作者简介：
赵胤，海归双硕士（数学建模 & 数学教育），中国数学奥林匹克一级教练员，曾执教于首师大附属实验学校及北京四中，目前担任猿辅导数学竞赛教学产品中心副总监。在10余年的教学生涯中，培养了300余名国内外数学竞赛获奖选手，包括华杯赛、小奥赛、全国初高中数学联赛一等奖，全美数学竞赛（AMC）、美国数学邀请赛（AIME）满分等。
作者微信：zhaoyin0506